4.6. Біноміальний диференціал

Означення 1.3.. Вираз виду , деі— сталі показники,— раціональні числа, називаєтьсябіноміальним диференціалом.

Цей диференціал введенням нової змінної можна перетворити на диференціал такого самого виду, але з цілими показниками.

^●Справді, беручи дістаємо

Узявши так, щобібули цілими, знайдемо біноміальний диференціал з цілими показниками.

Далі з тотожності випливає, що біноміальний диференціал може бути перетворений на диференціалтипу

,

але до нього замість входить –n, а отже, в одному з двох диференціалів показник буде додатним. Таким чином, не порушуючи загальності, можемо вважати, що і— цілі числа і— додатне.

Отже існує три випадки інтегрованості у скінченному вигляді бі­но­мі­­альних диференціалів

І. — ціле число. Тоді біноміальний диференціал — є звичайною раціональною функцію.

ІІ. —не ціле число, але виконується умова

Тоді біноміальний диференціал обчислюється виконуючи заміну

В результаті підстановки якої отримаємо також раціональну функцію.

ПРИКЛАД 7.

ІІІ. —не ціле число, але

Тоді, застосувавши заміну до виразу дістанемо:



Ці випадки інтегровності були відомі ще І. Ньютонові. Але лише П. Л. Чебишов встановив, що інших випадків інтегровності у скінченому вигляді для біноміальних диференціалів не існує. Тобто, якщо ви маєте біноміальний диференціал даного виду і перевірили, що всі три випадки не виконуються, то можете стверджувати, що такий інтеграл обчислити не можливо (існують наближені методи, але вони не дають точних результатів)

Приклад 8.

Обчислити

Розв’язання.

У разі, якщо , аp, q— цілі числа, для обчислення інтегралів від біноміального диференціала можна застосувати формули зведення.

Інтеграл можна звести до інтегралівабо:

4.7. Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо ,, деR — раціональна функція відносно sinx, cosx, тобто над sinx, cosx виконуються лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня, наприклад:

.

Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної функції,, загальна схема інтегрування якої розроблена.

І. Універсальна тригонометрична підстановка.

.

.

ПРИКЛАД 9.

Обчислити

Розв’язання.

.

Зауваження. На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sinx, cosx входять у невисокому степені (інакше розрахунки будуть дуже складні).

ІІ. Підінтегральна функція — непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cosx = t.

Приклад 10.

Обчислити

Розв’язання.

.

ІІІ. Підінтегральна функція — непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

ПРИКЛАД 11.

Обчислити

Розв’язання.

.

IV. Підінтегральна функція — парна поsin x, cos x сукупно, тобто ..

В цьому випадку використовують підстановку або..

ПРИКЛАД 12.

Обчислити

Розв’язання.

.

V. Підінтегральна функція раціоналізується підстановкою.

ПРИКЛАД 13.

Обчислити

Розв’язання.

Зауваження. В інтегралах рекомендується скористатись формулами пониження степеня:

.

ПРИКЛАД 14.

Обчислити

Розв’язання.

.

Зауваження. При інтегруванні інтегралів типу:

, ,,, треба скористатися формулами:,

,

ПРИКЛАД 15.

Обчислити

Розв’язання.

.

Тема 2. Визначений інтеграл та його обчислення.

1. Підсумовування нескінченно малих

2. Поняття визначеного інтеграла

3. Властивості визначеного інтеграла

4. Теорема Ньютона-Лейбніца (Н-Л)

5. Методи знаходження ВІ.

5.1. Метод безпосереднього інтегрування

0. Метод заміни змінної

1. Метод інтегрування частинами

5.4. Обчислення визначених інтегралів за допомогою властивостей підінтегральних функцій

1. Підсумовування нескінченно малих

Нехай задано неперервну функцію на відрізку [a; b] і F(x) —будь-яка її первісна. Розіб’ємо відрізок [a; b] на n частин і утворимо різницю значень первісної на його кінцях: F(b) – F(a) (1)

Різниця (1) дорівнює сумі таких самих різниць, складених для відрізків, на які розбито даний:

(2)

За теоремою Лагранжа про скінченний приріст маємо:

F(х_і) – F(х_{і – 1}) = (х_і – х_{і – 1})F(_{i – 1}),

де _i  [х_і; х_і–1] (рис. 16).

Позначивших_і – х_і–1 =  х_і–1 і врахувавши, що

F(_i–1) = f(_i–1),

рівність (2) подамо так:

F(b) – F(a) = f(₀)х₀ + f(₁)х₁ + … + f(_n–1)х_{n – 1}. (3)

Залежність (3) справджується лише для значень ₀, ₁, … _n, які задовольняють теорему Лагранжа. Але коли необмежено збільшувати кількість n частин відрізка [a; b] так, щоб довжина відрізка х_і–1 прямувала до нуля, то рівність (3) виконуватиметься і різниця F(b) – F(a) буде сумою нескінченної кількості спадних доданків: (4)

Рівність (3) справджується не лише за певного, а й за будь-якого вибору точок ₀, ₁, … _n–1, тому (4) є формулою суми нескінченно малих, яку вивели Лейбніц і Ньютон.