- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
З ШКФ відомо, що тиск рідини на горизонтальну площадку занурену в рідину визначається за формулою
де - густина рідини,- прискорення вільного падіння (9,8 м/с),- глибина занурення,- площа площадки (тіла занурення).
Якщо ж тіло занурювати вертикально, то потрібно використовувати наступну формулу
9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченого , так щоіснує.
Означення 3.2. Границя приназиваєтьсяневласним інтегралом від функції на нескінченному проміжку і позначається так:.
Якщо ця границя скінчена, то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (в тому числі нескінченна), то —розбіжним.
Вважаючи, що f(x) — інтегровна для скінчених a та b, тобто , формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд
, де
Приклад 10.
Дослідити на збіжність інтеграл Діріхле
Для розв’язування задачі розглянемо такі три випадки:
р = 1. інтеграл розбіжний.
p < 1. , інтеграл розбіжний.
p > 1. , інтеграл збіжний.
Отже, інтеграл Діріхле збіжний при p>1, та розбіжний при .
Крім безпосереднього обчислення невласних інтегралів при дослідженні їх на збіжність існують і інші методи. Одним з таких методів можна встановити збіжність інтеграла Пуассона
,
особливість якого полягає у тому, що первісна для підінтегральної функції не виражається через елементарні функції.
В деяких випадках достатньо встановити лише збіжність чи розбіжність розглядуваного інтеграла, при цьому можна скористатися методом порівняння, що базується на такій теоремі:
Теорема 3.2. Якщо при має місце нерівність, то із збіжності інтегралавиходить збіжність інтегралаабо із розбіжностівипливає розбіжність.
Звичайно, для порівняння вибирається інтеграл, збіжність якого відома, наприклад, інтеграл Діріхле.
Приклад 11.
Дослідити збіжність інтеграла .
Розв'язання.
.
—збіжний, як інтеграл Діріхле із р = 2 > 1, тому буде збіжним і .
Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
Нехай неперервна на проміжкута прих = а має розрив 2-го роду.
Означення 3.3. називаєтьсяневласним інтегралом від розривної (необмеженої) функції . Якщо ця границя існує, то інтеграл називаєтьсязбіжним, а якщо не існує, то — розбіжним.
Для обчислення таких невласних інтегралів використовують такі формули:
1) — точка розриву,
2) — точка розриву,
3) — точка розриву,
.
Зауваження. До невласних інтегралів, які мають точку розриву, що є внутрішньою для , не можна застосувати формулу Ньютона-Лейбніца.
Приклад 12.
Обчислити .
Розв’язування.
Неправильне розв’язування. .
Правильне розв’язування. ,— точка розриву 2-го роду функції— невласний.
інтеграл розбіжний.