- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
Приклад 1.
Обчислити:
а) б)
Розв´язання.
а) ;
б) .
Правило (розкриття ).Для того щоб обчислити границю дробу, що містить ірраціональні вирази у випадку, коли границя і чисельника і знаменника дробу дорівнює нулю, необхідно перенести ірраціональність із чисельника в знаменник або із знаменника в чисельник і після цього виконати необхідні спрощення (зведення подібних членів, скорочення тощо) та перейти до границі.
Приклад 2.
Обчислити границю:
Розв´язання.
4. Границя функції на нескінченності
Досліджуючи функції, визначені на нескінченних проміжках, часто доводиться вивчати поведінку цих функцій при як завгодно великих за модулем значеннях аргументу х, тобто при .
Нехай функція визначена на інтервалі
Означення 2.5. Число А називається границею функції на нескінченності при , якщо для будь-якогоε>0 існує М(ε)>0, що для всіх х>М(ε) виконується нерівність , і позначають:.
Означення 2.6. Число В називається границею функції при х→-∞, якщо для будь-якого ε>0 існує число N(ε)>0, що для всіх х<N(ε) виконується нерівність , і позначають:
Означення 2.7. Нехай функція визначена на проміжку (-∞;+∞). ЧислоА називається границею функції на нескінченності (при ), якщо для будь-якого ε>0 існує М(ε)>0, що для всіх |х|>М(ε) виконується нерівність , і позначають:.
Геометрично (рис.4) це означає, що для будь-якого ε>0 існує
М(ε)>0, що для всіх або привідповідні значення функції попадають вε-окіл точки А, тобто відповідні
точки графіка цієї функції лежать у смузі, обмеженій прямими у=А+ε, у=А-ε.
Для границі функції на нескінченності виконуються ті ж самі властивості, що й для границі функції в точці,
а також ті правила, що використовуються при
обчисленні границі числової послідовності.
Правило (розкриття ). Для того щоб обчислити границю дробово-раціональної функції у випадку, коли при х→∞ чисельник та знаменник дробу мають границі, що дорівнюють нескінченності, необхідно кожен член многочленів чисельника та знаменника дробу розділити на х в найвищому степені та перейти до границі.
Правило (розкриття ()). Для того щоб обчислити границю функції, що містить ірраціональні вирази у випадку, коли кожен з них має нескінченну границю, необхідно помножити та розділити заданий вираз на вираз, спряжений до нього і після цього виконати необхідні спрощення (зведення подібних членів, скорочення тощо) та перейти до границі.
Приклад 3.
Знайти границі:
а) в)д)
б) г)е)
Розв´язання.
а) ;
б) ;
в) ;
г) (оскільки показникова функція з основою більше за 1 є зростаючою);
д) ;
е)
5. Перша важлива границя
При знаходженні границі тригонометричної функції можна незалежну змінну замінити її граничним значенням, якщо воно належить області визначення функції.
Наприклад.
Задача. Довести, що при 0<x<π/2 справедлива нерівність .
Розв´язання.
Візьмемо коло з центром у довільній точці О з радіусом, що дорівнює одиниці, і розглянемо гострий кут АОВ, хорду АВ і дотичну АС до кола у точці А (рис.5). Тоді площа трикутника АОВ менше за площу трикутника АОС і менше за площу сектора АОВ:
Нехайх-радіанна міра кута АОВ, тоді довжина дуги АВ дорівнюватиме добутку радіуса на радіанну міру кута, тобто , тоді площа сектора;
;
, оскільки трикутник АОС
прямокутний (АС – дотична за умовою), то ,
тоді:
.
Отже, маємо:
, ,.
Твердження доведено. Задача розв’язана.
Теорема 2.7.
Доведення. Нехай х>0. Оскільки х розглядається в малому околі нуля, то можна припустити, що 0<x<π/2.
Скористаємось доведеним вище твердженням: що при 0<x<π/2 справедлива нерівність . Оскільки на цьому проміжку, то поділивши всі члени останньої нерівності наотримаємо:
, або . Оскількиі, то затеоремою 2.3. маємо .
Нехай тепер -π/2<x<0. Введемо нову змінну х´>0 за формулою х= -х´. Тоді:
Отже, теорема доведена повністю.
Зауваження. - це є перша важлива границя.