- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
Теорема 3.2. Нехай інеперервні в точці. Тоді їх сума, різниця, добуток і частка (за умови, що знаменник не дорівнює нулю) теж неперервні в точці, тобто,,,(3.1.) неперервні в точціх0.
Доведення. Оскільки за означенням неперервні в точці х0 функції f(x) і g(x) мають границі, що дорівнюють f(x0) і g(x0), то за властивістю границі суми, різниці, добутку та частки, границі функцій (3.1.) існують і відповідно дорівнюють,,,. Але ці величини дорівнюють значенням відповідних функцій. Отже функції (3.1.) за першим означенням неперервності є непреревними в точціх0. Що й треба було довести.
Теорема 3.3. (про неперервність складеної функції). Якщо функція u=φ(x) неперервна в точці х0, а функція y=f(u) неперервна в точці u0=f(x0), то складена функція y=f(φ(x)) неперервна в точці х0.
Доведення. Для доведення теореми досить встановити, що . Оскільки функціяu=φ(x) за умовою неперервна в точці х0, то , тобто прих→х0 значення функції и→и0. Тому внаслідок неперервності функції y=f(u) маємо: . Що й треба було довести.
Як відомо, елементарною називається така функція, яку можна задати однією формулою, яка містить скінчене число арифметичних дій і суперпозицій основних елементарних функцій. Оскільки елементарні функції неперервні в усіх точках, в яких вони визначені, то з теорем 3.1. і 3.2. випливає така теорема.
Теорема 3.4. Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.
Зауваження. Якщо функціянеперервна в точці, то за означенням. Тому, щоб обчислити границю функції в точці, в якій вона неперервна, достатньо обчислити значення функції в цій точці.
4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
Якщо функціямає в точціграницю справа і вона дорівнює значенню функції в цій точці, то кажуть, що функціянеперервна в т.справа.
Якщо має границю в точцізліва, яка дорівнює значення функції в цій точці, то кажуть, щонеперервна в точцізліва.
Теорема 3.5. (необхідна і достатня умова неперервності функції в точці). Для того, щоб функція була неперервною в т.необхідно і достатньо, що вона була неперервною справа і зліва, тобто, виконувалася рівність
Означення 3.6. Точка, в якій функція не є неперервною, називається точкою розриву функції, а сама функція в цій точці називається розривною.
Класифікація точок розриву
1) Якщо односторонні границі функції в точці існують і рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції в точці, або функція в цій точці невизначена, тобто,або не існуєf(x0), то в цьому випадку називаютьточкою розриву усувного характеру.
Зауваження. Ця назва пов’язана з тим, що функцію можна зробити неперервною, якщо в точці розриву надати функції значення, яке дорівнює границі цієї функції в цій точці.
Приклад 2.
Знайти точки розриву та з’ясувати їх характер для функції
Розв’язання.
Оскільки область визначення даної функції точкою х=0 поділяється на два проміжки, то ця точка може бути точкою розриву. Для з’ясування цього обчислимо односторонні границі даної функції в цій точці.
,- перша важлива границя,у(0)=2 – за умовою.
Односторонні границі рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції в точці х=0, тому ця точка – точка розриву усувного характеру.
2) Якщо односторонні границі функції в точці існують, але між собою не рівні. В цьому випадку точку х0 називають точкою розриву із скінченним стрибком, а величину називаютьстрибком функції.