§3.2. Дискретные случайные величины и основные законы распределения

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины Х удобно записывать в виде таблицы, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины x₁, x₂, …, х_n и вероятности их появления :

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

В последней строке таблицы

Закон распределения можно изобразить графически. Для этого рассмотрим совокупность пар (x₁, р₁), (x₂, р₂), …, (x_n, р_n). Нанесем точки с этими координатами на плоскость и соединим их поочередно отрезками прямых линий. Полученная фигура называетсямногоугольником распределения (рис.7).

Рис.7 Многоугольник распределения

Говорят, что случайная величина Х имеет вырожденное распределение с параметром α, если Х принимает единственное значение α с вероятностью 1, т. е. . Таблица распределенияX имеет вид

Х	α
p	1

Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Бернулли с параметром p, если Х принимает значения 1 и 0 с вероятностями p и 1 – p соответственно. Случайная величина Х с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения X имеет вид

Х	0	1
p	1 – p	p

Дискретная случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения 0, 1, …, n, а вероятность того, что Х = m, выражается формулой где 0 < p < 1; q = 1 – p. Таблица распределения X имеет вид

Х	0	1	…	n
p	pn (0)	pn (1)	…	pn (n)

Дискретная случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2, … т,…, а вероятность того, что Х = m, выражается формулой где λ > 0 — параметр закона Пуассона. Таблица распределения X имеет вид

Х	0	1	…	m	…
p			…		…

Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром p, где , еслиХ принимает значения 1, 2, 3, … с вероятностями . Случайная величинаХ с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения X имеет вид

Х	1	2	…	k	…
p	p	p (1 – p)	…	p (1 – p) ^k-^1	…

Говорят, что случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и K, где , еслиХ принимает целые значения от дос вероятностями. Случайная величинаХ с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N – K не белых.

§3.3. Понятие интегральной и дифференциальной функции распределения

Интегральной функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x), определяющая для каждого аргумента x вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие, чем x, т. е. F (x) = Р (Х < х).

Для дискретных случайных величин функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Пример.

Пусть задана дискретная случайная величина своим законом распределения.

xi	1	4	8
pi	0,3	0,1	0,6

Найдем для нее функцию распределения. Это будет функция, заданная следующим предписанием:

Соответствующий график функции имеет вид (рис.8).

Рис.8 График функции F(x)

Если функция распределения F (х) везде непрерывна и имеет производную, то случайная величина называется непрерывной в узком смысле слова или просто непрерывной.

Свойства интегральной функции распределения:

1. 0  F (x)  1, так как это вероятность. Причем для произвольной функции распределения F (– ) = 0, F (+) = 1;

2. Функция F (х) является неубывающей функцией; т. е. F (х₂)  F (х₁), если х₂  х₁;

3. Вероятность попадания случайной величины Х на участок от  до  выражается формулой Р (  X < ) = F () - F ();

4. Если случайная величина Х непрерывна, то Р (Х = ) = 0 и Р ( < Х < )=F () – F ().

Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины называется первая производная от интегральной функции распределения, т. е. функция f (х) = F' (х).

Свойства дифференциальной функции распределения:

1. Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна, т. е. f (х)  0;

2. 

График плотности f (х) называется кривой распределения.

Второе свойство говорит о том, что площадь фигуры, образованной осью ox и кривой распределения (не всегда замкнутой) равна единице. То есть, не всякую функцию можно рассматривать в качестве функции плотности некоторой случайной величины.

Функция распределения F (х) выражается через плотность распределения формулой Вероятность попадания на участок от до  для непрерывной случайной величины выражается формулой . Это площадь криволинейной трапеции с границами x=, x=, y=0, y=f(x).