Список дополнительной литературы
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2006. - 404 с.
Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.
Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.
Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть II. Сборник задач и упражнений. Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.
Тема 6. Статистические гипотезы § 6.1. Основные понятия статистической проверки гипотез
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Рассмотрим принцип проверки статистической гипотезы на примере проверки гипотезы о виде распределения.
Предположим, что функция распределения случайной величины Xнам неизвестна, но мы располагаем случайной выборкой x1, x2,..., хn. По наблюдениям выборки мы хотим дать ответ на вопрос: совпадает функция распределенияF(x) с некоторой наперед заданной функцией распределенияF0(x), или нет. При такой постановке задачи говорят, что речь идет о проверке гипотезы согласия. Используя наблюдения выборки x1, x2,..., хn , нужно либо принять гипотезу о том, что функция распределенияF(x) совпадает с заданной функцией распределенияF0(x), либо ее отвергнуть.
Правило принятия одного из этих двух решений называется статистическим критериемили просто критерием. В качестве функцииF0(x) обычно выбирается одно из известных распределений, например, нормальное, равномерное или распределение Пуассона с известными параметрами. Далее рассматривается гипотеза о том, что функция распределенияF(x) совпадает с непрерывной функцией распределенияF0(x).
Обозначим эту гипотезу символом H0и назовемнулевой(основной) гипотезой.
Символом H1 обозначим противоположную гипотезу о том, чтоF(x)F0(x) хотя бы при одном значении x. Она называется конкурирующей (альтернативной) гипотезой.
Проверка гипотезы о распределении состоит в том, чтобы по наблюдениям выборки сделать вывод, справедлива гипотеза H0, или заключить, что справедлива гипотезаH1. Поскольку наблюдения случайны, то абсолютно достоверно такие утверждения сделать нельзя. При любом естественном подходе есть положительные вероятности того, что мы примем гипотезуH0, когда она на самом деле не верна, или, что мы примем гипотезуH1, когда она не является верной. Пустьнекоторое наперед заданное малое положительное число (уровень значимости). Мы хотим указать такое правило (критерий), которое бы по наблюдениям выборки x1, x2,..., хn отвергало гипотезуH0при условии, что она на самом деле верна, с вероятностью.
Вероятность отвергнуть гипотезуH0при условии, что она верна, называется вероятностьюошибки первого рода. Вероятность принять гипотезуH0, при условии, что верна гипотезаH1, называется вероятностьюошибки второго рода.
Статистическим критериемназывают случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы.
Наблюдаемым (эмпирическим)значением критерия Кнаблназывают то значение критерия, которое вычислено по выборке.
Критической областьюназывают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.Областью принятия гипотезы(областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.Критическими точками(границами)kкрназывают точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Для каждого вида критерия они определяются по специальным таблицам в соответствии с заданным уровнем значимости.
Основной принциппроверки статистических гипотез сформулируем так:
Зададим малую величину уровень значимости критерия.
Определим по таблицам критическую область 0как совокупность таких значений критерия К, вероятность принадлежности которых к0есть, т.е.
.
Это событие можно рассматривать как
маловероятное событие (с уровнем
значимости).Если по данным выборки вычислили Кнабли оно попало в критическую область0, то это служит основанием для отклонения нулевой гипотезыH0. Если же Кнаблне будет принадлежать критической области, то можно лишь заключить, что данные опыта (выборки) не противоречат гипотезеH0и последняя не отклоняется.
Кроме гипотез о виде неизвестного распределения часто рассматриваются гипотезы о параметрах уже известного распределения. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определенному значению*, то выдвигают гипотезуH0: = *. Это гипотеза о предполагаемой величине параметра. Можно выдвинуть бесчисленное множество альтернативных гипотезH1. Причем, различают гипотезы, которые содержат только одно (простая гипотеза) и более одного предположения (сложная альтернативная гипотеза).
Пример.
H0:= а;
H1:=b(простая);
H1:а (сложная).
Существуют следующие виды критических областей:
Правостороннейназывают критическую область, определяемую неравенством К >kкр, гдеkкрположительное число.
Левостороннейназывают критическую область, определяемую неравенством К <kкр, гдеkкротрицательное число.
Двустороннейназывают критическую область, определяемую неравенством К <k1, К >k2, гдеk1 <k2. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствомК>kкр.
Для отыскания критической области задаются уровнем значимости и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:
Для правосторонней критической области
Для левосторонней критической области
Для двусторонней симметричной области
Критические точки являются квантилями соответствующего порядка распределения критерия К, которое является известным для основных типов задач. Задачи нахождения критической области и построения доверительного интервала связаны между собой. Существует также связь между видом альтернативной гипотезы и типом критической области.
Покажем это на следующих типовых постановках задач проверки статистических гипотез.