5.2.2. Доверительные интервалы для оценки разности средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей

Пусть заданы две нормально распределенные совокупности с параметрами m₁,₁ иm₂,₂ соответственно. Рассмотрим задачу построения доверительного интервала для оценки разностиm₁- m₂ . Возможны следующие случаи:

1. Двусторонний доверительный интервал для оценки разности средних m₁- m₂ двух нормально распределенных генеральных совокупностей при известных дисперсиях

где n₁, n₂ — объемы выборок;

—выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;

—известные дисперсии генеральных совокупностей.

2. Двусторонний доверительный интервал для оценки разности средних m₁- m₂ двух нормально распределенных генеральных совокупностей при равных, но неизвестных дисперсиях

n₁, n₂ — объемы выборок;

—выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;

—исправленные выборочные дисперсии исследуемых генеральных совокупностей.

3. Двусторонний доверительный интервал для оценки разности средних m₁- m₂ двух нормально распределенных генеральных совокупностей при неравных и неизвестных дисперсиях

n₁, n₂ — объемы выборок;

—выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;

—исправленные выборочные дисперсии исследуемых генеральных совокупностей.

5.2.3. Доверительные интервалы для оценки доли признака

Доверительные интервалы для оценки параметра Р (доли признака) биномиального распределения находятся следующим образом.

Если п50, а выборочное значение относительной частоты р^* удовлетворяет условиям пр^* 5 и  п  р^*  5, то двусторонний доверительный интервал для параметра Р биномиального распределения имеет вид

Если n<50 или хотя бы одно из чисел пр^* и п р^* меньше пяти, то для нахождения доверительных границ p₁ и p₂ используют таблицы функции распределения для биномиального закона: p₁ определяется как наибольшее значение Р, удовлетворяющее неравенству

а p₂ — как наименьшее значение Р, удовлетворяющее неравенству

Для решения таких типов задач нужны статистические таблицы. Некоторые из наиболее встречающихся приведены в конце пособия.

Пример.

В партии из 700 изделий обнаружили 50 бракованных. Найти доверительный интервал для доли брака при α= 0,05.

Вычислим р^*=50/700=0,0714; α= 0,05, поэтому1-α/2=0,975. По таблице 2 найдемz_0,975квантиль порядка 0,975 стандартного нормального распределения:z_0,975=1,96. Подставим в формулу

В итоге получим 0,0523< P <0,0905

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение точечной и интервальной оценки.

2. Что такое доверительный интервал?

3. Какие свойства точечной оценки вы знаете?

4. Приведите примеры точечных оценок. Какими из перечисленных свойств они обладают?

5. Что называется точностью и надёжностью интервальной оценки?

6. Выпишите формулы для нахождения доверительного интервала в типовых задачах.

7. Какими таблицами вы пользовались для нахождения доверительного интервала в разобранных примерах и почему?

Список основной литературы

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование, 2009. - 478. 

2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с. 

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. : Высш. образование, 2009. – 403.

4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос. службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е. А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.