§ 6.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности некоторому значению

Пусть известно, что генеральная совокупность распределена нормально. Кроме этого есть основания предполагать, что дисперсия равна некоторому значению . Тогда выдвинем нулевую гипотезу«генеральная дисперсия данной генеральной совокупности равна гипотетическому (предполагаемому) значению».

Возможны три случая выдвижения альтернативной гипотезы: ;;.

Для статистической проверки нулевой гипотезы из генеральной совокупности извлекают выборку объема n. По этой выборке можно рассчитать выборочную дисперсиюD_ви исправленную дисперсиюS². Необходимо проверить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная дисперсияS²и гипотетическая генеральная дисперсия. Для этого выберем некоторый уровень значимости. Для проверки нулевой гипотезы выберем критерийслучайную величину с известным законом распределения:, имеющей распределение «хи-квадрат» сn-1степенями свободы. По этому критерию и уровню значимости строится критическая область. Как уже говорилось ранее, вид критической области зависит от выбора конкурирующей гипотезы. Разберем возможные случаи:

1. . В этом случае критическая область ищется, как правосторонняя из условия а критическую точку ищут по таблицам квантилей распределения²: После этого вычисляем по данной выборке наблюдаемое значение критерия. Еслито нулевая гипотеза принимается.

2. . В этом случае критическую область ищут как левостороннюю. Критическая точка ищется как . Тогда, если, то нулевая гипотеза принимается.

3. . В этом случае критическая область ищется как двусторонняя. Критические точки находятся из условий Им соответствуют квантили порядка α/2 и 1-α/2 распределения «хи-квадрат» (таблица 5).

Пример.

При обработке выборки объема n=20 получено значение. Проверить гипотезу о том, что заданное значениеравно дисперсии случайной величины против двусторонней конкурирующей гипотезы на уровне значимости 10%.

Имеем: ;; α=0,1; α/2=0,05; 1-α/2=0,95. По таблице 5 находим;. Эти точки определяют границы двусторонней критической области. Найдем наблюдаемое значение критерия. Следовательно, принимается гипотеза.

§ 6.3. Проверка гипотезы о равенстве генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности некоторому значению

Пусть известно, что генеральная совокупность распределена нормально. Кроме этого есть основания предполагать, что генеральная средняя равна некоторому значению a₀. Тогда выдвинем нулевую гипотезу«генеральная средняя данной генеральной совокупности равна гипотетическому значению», причем известен второй параметр – дисперсия.

Возможны три случая выдвижения альтернативной гипотезы: ;;.

Для статистической проверки нулевой гипотезы из генеральной совокупности извлекают выборку объема n. По ней рассчитываем выборочное среднееи при заданном уровне значимостинужно оценить, значимо или незначимо различаютсяиa₀. Это делается следующим образом.

Для проверки заданной нулевой гипотезы выберем критерий случайную величину с известным законом распределения:, которая имеет нормальное распределение, причем. По этому критерию и уровню значимости строится критическая область. Как уже говорилось ранее, вид критической области зависит от выбора конкурирующей гипотезы. Разберем возможные случаи:

1. Если , то ищется двусторонняя критическая область с симметричными относительно нуля критическими точками, которые определяются из условия, где− функция Лапласа, или из условия, где− интегральная функция нормального распределения. То есть,− это квантиль порядканормального распределения.

2. Если , то ищется правосторонняя критическая область критической точкой, которая определяются из условия, где− функция Лапласа, или из условия, где− интегральная функция нормального распределения. То есть,− это квантиль порядканормального распределения.

3. Если , то ищется левосторонняя критическая область с критической точкой, которая определяются из условия.

Если второй параметр дисперсия неизвестен, то для проверки заданной нулевой гипотезы выберем критерийслучайную величину с известным законом распределения:, которая имеет распределение Стьюдента сk=n-1 степенями свободы. По этому критерию и уровню значимости строится критическая область. Разберем возможные случаи:

1. Если , то ищется двусторонняя критическая область с симметричными относительно нуля критическими точками, которые определяются из условияТо есть,− это квантиль порядкараспределения Стьюдента.

2. Если , то ищется правосторонняя критическая область критической точкой, которая определяются из условия. То есть,− это квантиль порядкараспределения Стьюдента.

3. Если , то ищется левосторонняя критическая область с критической точкой, которая определяются из условия.

Примеры:

1. Проверить гипотезу о том, что заданное значение a=2 равно математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины с известной дисперсией равной 9, против альтернативной двусторонней гипотезы на уровне значимости 5%, если в результате обработки выборки объема 10 получено значение средней равное 3.

Имеем ;; α= 0,05;1-α/2=0,975. По таблице 2 найдемz_0,975квантиль порядка 0,975 стандартного нормального распределения:z_0,975=1,96. Это критическая точка, определяет симметричную относительно нуля двустороннюю критическую область. Найдем наблюдаемое значение критерия.

Оно не попадает в критическую область. Следовательно, принимается гипотеза.

2. Проверить гипотезу о том, что заданное значение a=20 равно математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины, против альтернативной правосторонней гипотезы на уровне значимости 5%, если в результате обработки выборки объема 10 получено значение средней равное 22 и исправленной дисперсией равной 4.

Имеем ;; α= 0,05;1-α=0,95. По таблице 3 найдемt_0,95квантиль порядка 0,95 распределения Стьюдентаcn-1=9 степенями свободы:t_0,95(9)=1,833. Это критическая точка, определяет правостороннюю критическую область. Найдем наблюдаемое значение критерия. Это значение попадает в критическую область, следовательно принимается гипотеза.