§2.2. Действия над событиями

Суммой или объединением двух событий А и В (обозначается или) называется событиеС, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В. При этом событие С можно получить из исходных, используя союз «или»: С = {имеет место или А, или В, или и А и В}. Операции над событиями можно наглядно проиллюстрировать, используя диаграммы Эйлера-Вэнна, на которых пространству элементарных исходов  и событиям ставятся в соответствие некоторые геометрические фигуры (прямоугольники, овалы, треугольники и т. п.). На следующей диаграмме на рис.2 заштрихованная область соответствует событию С. В него входят все элементарные исходы, содержащиеся хотя бы в одном из событий.

Рис. 2 Сумма двух совместных событий

Пример:

Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие два события, которые связаны с этим опытом.

Событие А = {выпадет не меньше трех очков} = {3; 4; 5; 6}.

Событие В = {выпадет четное число очков} = {2; 4; 6}. В скобках мы указали элементарные исходы, составляющие каждое событие.

Тогда А + В = {2; 3; 4; 5; 6} = {выпадет не менее двух очков}.

Если два события А и В несовместны, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из них, безразлично какого. А так как у несовместных событий нет общих элементарных исходов, то запишется оно уже в виде С = {имеет место или А, или В}. Соответствующая этому случаю диаграмма представлена на рис. 3.

Рис. 3 Сумма двух несовместных событий

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением или пересечением двух событий А и В (обозначается или) называется событиеС = , состоящее всовместном появлении события А и события В. При этом событие С можно получить из исходных используя союз «и»: С = {имеет место и А, и В}. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

На рис. 4 заштрихованная область соответствует событию С. В него входят все элементарные исходы, содержащиеся и в А, и в В.

Рис. 4 Произведение двух совместных событий

Пример:

Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие два события, которые связаны с этим опытом.

Событие А = {выпадет не меньше двух очков} = {2; 3; 4; 5; 6}.

Событие В = {выпадет четное число очков} = {2; 4; 6}.

Тогда АВ = {2; 4; 6} = {выпадет четное число очков}.

Задание для самостоятельного решения:

Опыт состоит в подбрасывании двух монет. Рассматриваются следующие события:

A−появление герба на первой монете;

B−появление цифры на первой монете;

C−появление герба на второй монете;

D−появление цифры на второй монете;

E−появление хотя бы одного герба;

F−появление хотя бы одной цифры;

G−появление одного герба и одной цифры;

H−не появление ни одного герба;

K−появление двух гербов.

Определить, каким событиям из этого списка равносильны следующие события: а) A+C; б) A∙C; в) E∙F; г) G+E; д) G∙E; е) B∙D; ж) E+K.

§2.3. Теорема сложения вероятностей

Аксиоматическое определение вероятности: каждому событию ставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события, причем так, что выполняются следующие три условия (аксиомы вероятностей):

1. ;

2. ;

3. , где событияявляются попарно несовместными событиями.

Из третьей аксиомы сразу следует, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

События А и В называются совместными, если появление события А не исключает появления события В в одном и том же испытании. Совместность событий А и В означает наличие у них общих элементарных исходов.

Вероятность суммы двух произвольных событий выражается формулой Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А∙В), где АВ — произведение событий А и В.

Пример.

Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по философии, 4 — по математике, причем 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, имеющих двойки по этим предметам?

Пусть событие А состоит в том, что 5 студентов сдали экзамен по философии на двойку, а событие В состоит в том, что 4 студента сдали экзамен по математике на двойку. Из формулы сложения вероятностей заключаем, что

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А∙В) = 5 / 20 + 4 / 20 – 3 / 20 = 0,3.

Таким образом, тридцать процентов студентов в группе имеют двойки по этим предметам.

Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

В случае, когда события А_i произвольны, вероятность их суммы выражается формулой

где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов i, j, k, взятых по одному, по два, по три и т. д. Если события A₁, А₂, … , А_n попарно несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Событие называетсяпротивоположным событию А, если оно состоит в не появлении события А. В него входят все элементарные исходы из , кроме тех, которые составляют событие А. Соответствующая этому случаю диаграмма приведена ниже.

Рис. 5 Противоположное событие

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р (А) + Р () =1. Это следует из того, что событияА и образуют полную группу несовместных событий.

Примеры:

1. Известно, что курс евро к рублю может возрасти с вероятностью 0,55, а курс доллара к рублю может возрасти с вероятностью 0,35. Вероятность того, что возрастут оба курса, составляет 0,3. Найти вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастет.

Пусть событие состоит в том, курс евро к рублю возрастет, а событие— в том, что курс доллара к рублю возрастет. Тогда по условию. Вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастет, по теореме сложения вероятностей составляет.

2. Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятностью 0,1, а зашедшая женщина — с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и две женщины. Какова вероятность того, что, по крайней мере, одно лицо что-нибудь купит?

Обозначим событие = {покупку сделает мужчина}, событие= {покупку сделает первая женщина} и событие= {покупку сделает вторая женщина}. Пусть событие= {по крайней мере, одно лицо что-нибудь купит}, тогда событие.

Перейдем к противоположному событию ={ни одно лицо ничего не купит}, тогда.Используя формулу для нахождения вероятностей противоположных событий и формулу для вероятностей независимых событий, имеем =.

2. Три независимых эксперта делают прогноз стоимости акции компании, ошибаясь при этом с одинаковой вероятностью . Найти, если вероятность того, что хотя бы один из них ошибается, равна 0,271.

Пусть событие ={i-ый эксперт ошибается в стоимости акции компании}, где . Далее обозначим событие={ошибается хотя бы один из экспертов}. По условию задачи .Но событие , тогда, переходя к противоположным событиям и используя независимость экспертов, имеем

.

Отсюда или. Наконец,=0,1.

2. События инезависимы,. Найти.

Используя формулу сложения вероятностей для произвольных событий, имеем

. По условию задачи события инезависимы, значит, событияитоже независимы. Используя формулу нахождения вероятностей для независимых событий, получим.

Итак, .

Задания для самостоятельного решения:

1. Компания, занимающаяся строительством терминалов для аэропорта, надеется получить контракт в стране А с вероятностью 0,4, вероятность заключить контракт в стране В равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?

2. Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста цены акций компании А будет составлять 0,7, а компании В — 0,4. Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0,28. Вычислите вероятность роста акций хотя бы одной компании.

3. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15, только пакет программ — 0,1. Вероятность того, что будет куплен и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будет сделана хотя бы одна покупка?

4. В одной комнате находятся четыре девушки и семь юношей, в другой — десять девушек и пять юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Найти вероятность того, что оба они окажутся юношами или обе — девушками.