§2.5. Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (А∙В) = Р (А) ∙ Р (В / А) или Р (А·В) = Р (В) ∙Р (А / В).

Для случая независимых событий А и В теорема умножения вероятностей примет вид:

Р (А∙В) = Р (А) ∙ Р (В).

Рассмотрим случай, когда событий больше чем два. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий есть события независимые. В случае, когда события независимы в совокупности, т. е. появление любого числа из них не меняет вероятностей появления остальных, то теорема умножения примет вид:

События называются попарно независимыми, если любые два события из этого набора независимы. Если событиянезависимы в совокупности, то они являются попарно независимыми. Обратное утверждение неверно.

Если события произвольные, то в общем случае формула произведения запишется в виде

Часто на практике приходится решать задачи, в которых нужно найти вероятность появления хотя бы одного события из некоторой совокупности независимых в совокупности событий. Искомую вероятность можно вычислить, одновременно применяя теорему суммы и произведения. Но более короткий способ дает следующая теорема:

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n, независимых в совокупности равна разности единицы и произведения вероятностей соответствующих противоположных событий. Если обозначить через q₁ = P (), …,q_n = P (), тоР (A) = 1 – q₁  q₂… q_n

Примеры:

1. Шесть охотников увидели лису и одновременно выстрелили в нее. Предположим, что каждый из охотников на таком расстоянии обычно попадает в лису и убивает ее в одном случае из трех. Какова вероятность того, что лиса будет убита?

Пусть событиеА_i означает поражение лисы i-м охотником. По условию задачи имеем Р (А₁) = Р (А₂) =  = Р (А₆) = 1/3. События А₁, А₂, , А₆ независимы и требуется найти Р (А₁ + А₂+ +  + А₆). Будем искать вероятность того, что лиса уцелеет. Для того чтобы лиса уцелела, необходимо, чтобы все охотники промахнулись. Итак,

Тогда Р (А₁ + А₂ +  +А₆) = 1 – 64/729 = 665 / 729.

2. Вакансия, предлагаемая безработному биржей труда, удовлетворяет его с вероятностью 0,01. Сколько нужно обслужить безработных, чтобы вероятность того, что хотя бы один из них найдет работу, была бы не ниже 0,95?

Нужное число безработных обозначим через . Введем случайные события= {i-ый безработный найдет работу}, где и= {хотя бы один избезработных найдет работу}. Тогда. По условию задачи. Имеем

Итак, находится из решения неравенства видаили. Решаянеравенство, получим . Требуется обслужить не менее 298 безработных.

3. Прохожий нашел чужую банковскую пластиковую карточку. Найти вероятность того, что двух попыток, предоставляемых банкоматом, хватит, чтобы отгадать неизвестный ему четырехзначный код.

Рассмотрим событие {двух предоставленных попыток хватит, чтобы угадать код}. Это событие может быть представлено следующим образом:, где{код впервые угадан сi-ой попытки}, . Событияинесовместны по определению противоположных событий, поскольку соответствующие множества благоприятных элементарных событий не пересекаются. Множество элементарных событий, благоприятствующих событию, состоит из элементарных событий, одновременно благоприятствующих событиями. Следовательно, это множество не пересекается с множеством элементарных событий, благоприятствующих событию. Таким образом, событияинесовместны. Для нахождениявоспользуемся формулой сложения вероятностей для несовместных событий:. Вероятность событиянаходим, используя классическое определение вероятности. По формуле умножения вероятностей, где,. Числоесть количество всевозможных четырехзначных кодов, за исключением одного, проверенного при первой попытке. Таким образом,.

3. На баллистическую экспертизу в одной коробке поступило 7 гильз от автомата Калашникова отечественного производства, 5 гильз от такого же автомата, но китайского производства и 3 гильзы от автомата польского производства. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая гильза окажется от автомата отечественного производства, вторая гильза — китайского производства и третья гильза — польского производства.

Определим следующие события: = {первая вынутая гильза от автомата отечественного производства},= {вторая вынутая гильза от автомата китайского производства},= {третья вынутая гильза от автомата польского производства}. Исходя из условия задачи, имеем. По формуле умножения вероятностей определим. Вероятность последовательно вытащить из коробки гильзы от автомата отечественного, китайского и польского производства равна 0,038.

Задания для самостоятельного решения:

1. В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, 412 — среднее специальное образование, у 357 — высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник не имеет ни высшего, ни среднего специального образования?

2. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по одному из трех телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу а) по всем трем каналам; б) хотя бы по одному из этих каналов?

3. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в белой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что белый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, черный — в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет — в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.

4. Покупатель может приобрести акции двух компаний А и В. Надежность компании А оценивается экспертами с вероятностью 0,9, надежность компании В — 0,8. Чему равна вероятность того, что а) обе компании не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?

5. Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, обратятся за покупкой товара в ее магазины с вероятностью 0,9. Если это произойдет, обладатель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что обладатель пластиковой карточки торговой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?

6. Компания, занимающаяся разработкой программного обеспечения, претендует на получение заказов от двух корпораций А и В. Эксперты компании считают, что вероятность получения заказа от корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если компания получит заказ от корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что компания получит оба заказа?

7. Вероятность, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,06. Вероятность, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,04. Предполагается, что оба события независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу; в) ни одной рекламы.

8. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии равна 0,2, на втором — 0,35, а на третьем равна 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды хотя бы на одном предприятии.

9. Цех получает месячную премию за выполнение плана по трем независимым показателям. Вероятности выполнения плана по этим показателям соответственно равны 0,9, 0,8, 0,7. За прошедший месяц цех премии не получил. Какова вероятность того, что план был выполнен цехом только по третьему показателю?

10. В волейбольном матче игра происходит до тех пор, пока одна из команд не выиграет три партии. Вероятность победы команды А в каждой партии равна 0,4. Определить вероятность того, что в матче победит команда А, если известно, что она проиграла вторую партию.

11. Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, большей 0,95?