Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение классической вероятности события.

2. Сформулируйте все известные вам классификации событий.

3. Сформулируйте теоремы суммы и произведения событий для разных случаев.

4. Определите понятие условной вероятности.

5. Заданы два случайных несовместных события. Зависимы они или нет?

6. Выпишите формулы полной вероятности и Байеса. Объясните входящие в них термины.

7. Сформулируйте условия схемы испытаний Бернулли.

Список основной литературы

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование, 2009. - 478. 

2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с. 

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. : Высш. образование, 2009. – 403.

4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос. службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е. А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.

Список дополнительной литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2006. - 404 с.

2. Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.

3. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.

4. Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть II. Сборник задач и упражнений.  Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.

Тема 3. Случайные величины и их законы распределения §3.1. Общие определения

Рассмотрим сначала случайный эксперимент с дискретным пространством исходов, т. е. с таким пространством элементарных событий  = {u₁, u₂, …, u_n}, которое состоит из конечного или счетного числа исходов. Пусть есть величина, которая в результате случайного эксперимента принимает различные числовые значения в зависимости от наступления того или иного исхода, при этом каждому исходу соответствует только одно число. Иными словами, на пространстве элементарных событий задана функция.

Функция, заданная на пространстве элементарных событий  = {u₁, u₂, …, u_n}, называется случайной величиной.

Для любого исхода u_i значение x_i = X (u_i) — это реализация случайной величины при данном исходе. Поскольку в ходе случайного эксперимента реализуется лишь один какой-то исход, то это означает, что в результате эксперимента наблюдается лишь какое-то одно значение случайной величины (одна реализация) из всех возможных. Обозначать случайные величины будем заглавными латинскими буквами X, Y,  …, а конкретные их значения соответствующими строчными буквами х, у,….

Пример.

Пусть бросается игральная кость. Величина X, равная числу выпавших очков, является случайной величиной. Величина X принимает возможные значения {1, 2, 3, 4, 5, 6}. В этом примере элементарный исход — это выпадение той или иной грани игрального кубика. В стандартной ситуации на гранях кубика написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Однако этим граням могут соответствовать и другие числа. Тогда мы получим другую случайную величину, хотя пространство элементарных исходов останется прежним.

Для дискретных пространств  = {u₁, u₂, …} будем обозначать возможные значения случайной величины через x_i = X (u_i), i = 1, 2, …. Значения x_i случайной величины X появляются с некоторой вероятностью, которую обозначим через p_i = P (X = x_i). Величина X принимает при этом не более чем счетное число возможных значений {x₁, x₂, …} и называется дискретной.

Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной (в широком смысле слова) называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.