Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение основных комбинаторных понятий.

2. Классифицируйте их по основным признакам.

3. Выпишите расчетные формулы, соответствующие основным комбинаторным понятиям.

Список основной литературы

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование, 2009. - 478. 

2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с. 

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. : Высш. образование, 2009. – 403.

4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос. службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е. А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.

Список дополнительной литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2006. - 404 с.

2. Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.

3. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.

4. Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть II. Сборник задач и упражнений.  Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.

Тема 2. Случайные события §2.1. Классическое определение вероятности события

Случайным опытом или случайным экспериментом называется любое действие, которое можно повторить большое число раз в одинаковых условиях и результаты которого нельзя предугадать заранее.

Вместе с каждым случайным опытом рассматривается некоторое множество , элементами которого являются предполагаемые исходы данного опыта, взаимно исключающие друг друга. Множество  называется пространством элементарных событий (ПЭC), а его элементы — элементарными событиями.

Случайным событием называется произвольное подмножество ПЭС.

Пример:

Если в качестве опыта или эксперимента рассмотрим подбрасывание монеты, то с ним связаны два исхода u₁= {выпал орел} и u₂= {выпала решка}.

Пусть каждому элементарному событию u_i из  = {u₁, u₂, …, u_n} поставлено в соответствие некоторое число , называемое вероятностью элементарного события, которое удовлетворяет условиям: 0 <p_i  1 для всех i и p₁ + p₂ + … + p_n = 1.

Тогда вероятностью события А называется сумма вероятностей элементарных событий, образующих это событие. Вероятность события А обозначается Р (А).

Достоверным называется событие А, которое в результате опыта непременно должно произойти, то есть P (А) = 1. Невозможным называется событие А, которое в результате опыта не может произойти, то есть P (А) = 0.

Вероятность любого события A заключена между нулем и единицей: 0  Р (A)  1.

Полной группой событий называется несколько таких событий, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Два события будут несовместными, если они не имеют общих элементарных исходов, то есть два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте.

События называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.

События образуют полную группу несовместных событий, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Пример:

Возвращаясь к опыту с подбрасыванием монеты, получим, что события несовместны, т.к. не могут одновременно появиться в одном испытании. События {u₁, u₂} образуют полную группу, т.к. обязательно произойдет одно из них. Эти события являются равновозможными. Вероятность выпадения герба

Если ПЭС опыта состоит из n равновозможных событий, то где число слагаемых равно числу элементарных событий, благоприятных событиюА. Итак, гдеn — число всех элементарных событий ПЭС, m — число элементарных событий, благоприятных событию А. Это есть классическое определение вероятности. Элементарное событие называется благоприятным событию А, если его появление влечет за собой появление события А.

Примеры:

1. В ящике три белых, два черных и два красных шара. Случайно из ящика вынимают один шар. Какова вероятность, что он не белый?

Определим параметры: n = 7, m = 2 + 2 = 4.

2. Какова вероятность, что выбранное наугад целое число при возведении в квадрат даст число, оканчивающееся на 1?

Понятно, что достаточно рассмотреть только квадраты чисел от 0 до 9, т. е. всего исходов здесь . При этом благоприятствующих исходов лишь(числа 1 и 9). Тогда искомая вероятность по классическому определению есть

3. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из десяти человек. Они оба очень хотели сидеть за праздничным столом рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди их друзей принято места распределять путем жребия?

Десять человек могут усесться за стол 10! разными способами. Сколько же из этих равновозможных способов благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут занять 20 разных позиций. В то же время восемь их друзей могут сесть за стол 8! разными способами, поэтомуСледовательно, вероятность исполнения их желания равна

Если исходная совокупность состоит из однотипных частей и из нее изымается выборка, то имеет место следующая полезная схема вычисления классической вероятности.

Пусть совокупность состоит из двух однотипных частей объема M и N соответственно. Из нее изымается выборка. Тогда вероятность того, что в этой выборке окажется m элементов из первой части и n элементов из второй части вычисляется по следующей формуле: . В этой формуле в числителе стоит число благоприятных исходов, в знаменателе общее количество исходов опыта. Эта формула по аналогии легко обобщается для случая, когда исходная совокупность состоит не из двух, а изk однотипных частей.

Пример:

В ящике три белых, два черных и два красных шара. Случайно из ящика вынимают три шара. Какова вероятность, что они будут разных цветов?

Задания для самостоятельного решения:

1. Владелец пластиковой карточки банкомата забыл последние три цифры кода и набрал их наугад. Какова вероятность набора верного номера, если известно, что все эти три цифры различны?

2. Пусть в лотерее осуществляется розыгрыш 6 номеров из 49. Порядок выпадения выигрышных номеров не важен. Участник лотереи выбирает 6 номеров из 49. Выигрыш выплачивается угадавшим 4, 5 или все 6 номеров. Определить вероятность угадывания четырех выигрышных номеров.

3. Пустые горшочки с медом Винни-Пух ставит на полочку вместе с полными для того, чтобы вид уменьшающегося числа горшков не слишком портил ему настроение. В настоящий момент в Пуховом буфете вперемежку стоят 5 горшочков с медом и 6 абсолютно пустых. Какова вероятность того, что в двух взятых на ужин горшочках окажется мед?

4. Группе студентов СибАГС для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15 — в Новосибирске, 8 — в Бердске, 7 — в Омске. Какова вероятность того, что студент и студентка, которые в скором времени собираются пожениться, будут отправлены для прохождения практики в один и тот же город, если декан ничего не знает об их намерениях?

5. Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые путем жеребьевки распределяются на две группы, по 9 команд в каждой; 5 команд обычно занимают первые места. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трех — в другую?