§2.6. Формула полной вероятности и формула Байеса

При вычислении классической вероятности события A делалось предположение, что все элементарные исходы пространства являются равновозможными. Но не всегда это предположение имеет место. Часто определить структуру пространства элементарных исходов (ПЭИ) сложно, а расчет их количества достаточно громоздок. Рассмотрим далее схему, в которой пространство элементарных исходов образует некоторая полная группа событий , попарно несовместных и единственно возможных в данном опыте или эксперименте. Эту совокупность событий мы назовем гипотезами. Причем, известна Р (Н_i) − априорная вероятность каждой гипотезы Н_i. Из условия полной группы следует, что . Это условие обязательно проверяется при анализе правильности выбора системы гипотез.

Если событие А может появиться только при одной из этих гипотез (то есть находится в одном ПЭИ с системой гипотез), то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

или Р (А) = Р (Н₁) Р (А / Н₁)+ Р (Н₂) Р (А / Н₂)+… + Р (Н_n) Р (А / H_n),

где Р (А/Н_i) − условная вероятность события А при гипотезе Н_i.

Таким образом, зная вероятности гипотез и условные вероятности события А при каждой из гипотез, мы по формуле полной вероятности можем найти вероятность события А.

Примеры:

1. Из наблюдений установлено, что вероятность сбоя во время работы ЭВМ в процессоре, в оперативной памяти или в периферийных устройствах соотносятся между собой как 3:2:5. И пусть условные вероятности обнаружения сбоя в названных местах ЭВМ есть соответственно 0,8, 0,9 и 0,9. Найти вероятность того, что возникший где-то сбой будет обнаружен системой контроля.

Возможны три гипотезы о месте сбоя: — сбой в процессоре;— сбой в оперативной памяти;— сбой в периферийных устройствах. Априорные вероятности этих гипотез могут быть вычислены как

, ,.

Пусть событие − обнаружен сбой. Тогда его вероятность вычисляется по формуле полной вероятности через априорные вероятности гипотез и условные вероятности событияпри гипотезах как.

2. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10 % — государственные органы, 20 % — другие банки, остальные — физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля кредитов в среднем не возвращается.

Пусть событие состоит в том, что взятый кредит не возвращается, гипотеза Н₁ — в том, что запрос на этот кредит поступил от государственного органа, гипотеза Н₂ — в том, что запрос на кредит поступил от другого банка, гипотеза Н₃ — в том, что запрос на кредит поступил от физического лица. По условию вероятности гипотез составляют Р (Н₁) ,Р (Н₂) = 0,2, Р (Н₃) = 1 – Р (Н₁) – Р (Н₂) = 0,7. Апостериорные вероятности в свою очередь по условию равны Р (А / Н₁) = = 0,01, Р (А / Н₂) = 0,05, Р (А / Н₃) = 0,2.

По формуле полной вероятности

Р (А) =Р (А / Н₁) Р (Н₁) + Р (А / Н₂) Р (Н₂) + Р (А / Н₃) Р (Н₃) = 0,01 · 0,1 +0,05 · 0,2 + 0,2 · 0,7 = 0,151.

3. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 50 % всех комплектующих деталей, второй — 20 %, третий — 30 % деталей. Известно, что качество поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4 %, второго — 5 %, третьего — 2 %. Определите вероятность того, что деталь, выбранная наудачу из всех полученных, будет годной.

Пусть событие состоит в том, что выбранная деталь годная, гипотеза Н₁ — в том, что выбран первый поставщик, гипотеза Н₂ — в том, что выбран второй поставщик, гипотеза Н₃ — в том, что выбран третий поставщик. По условию вероятности гипотез составляют Р (Н₁) =0,5, Р (Н₂) = 0,2, Р (Н₃) = 0,3. Апостериорные вероятности в свою очередь по условию равны Р (А / Н₁) = 1- 0,04 = 0,96, Р (А / Н₂) = 1- 0,05= 0,95, Р (А / Н₃) = 1- 0,2 = 0,98.

По формуле полной вероятности получим

Р (А) =Р (А / Н₁) Р (Н₁) + Р (А / Н₂) Р (Н₂) + Р (А / Н₃) Р (Н₃) = 0,5 · 0,96 +0,2 · 0,95 + 0,3 · 0,98 = 0,964.

То есть, вероятность события составляет 96,4%.

Рассмотрим теперь обратную задачу. Если до опыта вероятности гипотез были равны Р (Н₁), Р (Н₂), …, Р (Н_n), а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события «новые», т. е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

(i = 1, 2, …, n).

Формула Байеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом известного результата опыта. Если после опыта, закончившегося появлением события А, производится еще один опыт, в котором может появиться или не появиться событие В, то вероятность (условная) этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез Р (Н_i), а новые Р (Н_i / А) (апостериорные вероятности):

Примеры:

1. 30 % пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20 % — второй и 50 % — третьей. Вероятность заболевания туберкулезом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведенные анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулеза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.

Обозначим через Н₁, Н₂, Н₃ — гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Эти гипотезы образуют полную группу событий, причем Р (Н₁) = 0,3, Р (Н₂) = 0,2, Р (Н₃) = 0,5. По условию событие А — обнаружение туберкулеза у больного — произошло, причем условные вероятности равны Р (А / Н₁) = 0,02, Р (А / Н₂) = 0,03, Р (А / Н₃) = 0,01. Апостериорную вероятность Р (Н₃ / А) вычислим по формуле Байеса:

2. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10 % — государственные органы, 20 % — другие банки, остальные — физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено факсимильное сообщение о неисполнении обязательств по возврату кредита, в котором очень плохо пропечаталось имя клиента. Найти вероятность того, что кредит не возвращает какой-либо банк.

Пусть событие состоит в том, что взятый кредит не возвращается, гипотезаН₁— в том, что запрос на этот кредит поступил от государственного органа, гипотеза Н₂ — в том, что запрос на кредит поступил от другого банка, гипотеза Н₃ — в том, что запрос на кредит поступил от физического лица. По условию вероятности гипотез составляют Р (Н₁) ,Р (Н₂) = 0,2, Р (Н₃) = 0,7. Условные вероятности, в свою очередь, равны Р (А / Н₁) = = 0,01, Р (А / Н₂) = 0,05, Р (А / Н₃) = 0,2. По формуле Байеса Р (Н₂ / А) .

3. Известно, что 1 из 700 мальчиков рождается с лишней Y-хромосомой и у этих мальчиков наблюдается агрессивное поведение в 20 раз чаще, чем у обычных. У данного мальчика агрессивное поведение. Какова вероятность того, что у него лишняя Y-хромосома?

Пусть означает наличие агрессивного поведения,— наличие лишнейY-хромосомы, а − ее отсутствие. Тогда по условию. По формуле полной вероятности. По формуле Байеса находим искомую вероятность. Как видим, вероятность довольна мала. Поэтому далеко не каждого мальчика с агрессивным поведением надо зачислять в отряд обладателей лишнейY-хромосомы. Объясняется это тем, что хотя вклад обладателей лишней хромосомы в агрессивное поведение велик, но их доля среди новорожденных очень мала.

4. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по теории вероятностей, трое подготовились отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно, а один совсем не готовился — понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся могут ответить на все 20 вопросов, хорошо — на 16 вопросов, удовлетворительно — на 10, не подготовившиеся — на 5 вопросов. Каждый студент получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым студент ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

Обозначим события: = {приглашен студент, подготовившийся отлично},= {приглашенстудент, подготовившийся хорошо}, = {приглашен студент, подготовившийся удовлетворительно}, = {приглашенныйстудент к экзамену не готов} и событие = {приглашенный студент ответил на три вопроса}. Согласно условию задачи .По формуле полной вероятности имеем

, где

Тогда .

По формуле Байеса имеем .

5. После осмотра больного врач считает, что равно возможно одно из двух заболеваний − C или D. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании С в 30 % случаев, а при заболевании D − в 20 % случаев. Анализ дал положительную реакцию. Какое заболевание становится более вероятным?

Сформулируем систему гипотез следующим образом: = {пациент имеет заболеваниеС}, = {пациент имеет заболеваниеD}. Для ответа на поставленный вопрос нужно найти апостериорные вероятности гипотез. Априорные вероятности гипотез, согласно условию задачи, равны: . Рассмотрим событие= {анализ дал положительную реакцию}. Для нахождения апостериорных вероятностей гипотез, т. е., воспользуемся формулой Байеса. Для того чтобы воспользоваться формулой Байеса, необходимо найти условные вероятности событияотносительно каждой из гипотез. Согласно условию задачи они равны соответственно:. По формуле полной вероятности найдем вероятность события:.

Воспользуемся формулой Байеса:

.

Так как , то заболеваниеС становится более вероятным.

Задания для самостоятельного решения:

1. У директора компании два списка с претендентами на работу. В первом списке — фамилии шести женщин и четырех мужчин. Во втором списке — фамилии четырех женщин и семи мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Оказалось, что эта фамилия принадлежит мужчине. Какова вероятность того, что из первого списка была перенесена фамилия женщины?

2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение полугода с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение ближайшего полугода будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение полугода?

3. Среди студентов академии 30 % первокурсников, 35 % студентов учатся на втором курсе, остальные — старшекурсники. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20 % студентов сдали сессию только на отличные оценки, на втором — 30 %, среди старшекурсников 40 % отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он старшекурсник?

4. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85 % случаев; если нефти нет, то в 10 % случаев тест может ошибочно указать ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют в действительности?

5. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы уйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?

6. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Вероятность случайной ситуации равна 0,04. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

7. Исследователями-психологами установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. Свое отношение к предполагаемым ситуациям отразили в анкете 15 женщин и 5 мужчин. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

8. Двумя предприятиями выпускается однотипная продукция. Объем продукции, поставляемый в продажу вторым предприятием, в раз превышает соответствующий объем продукции первого предприятия. Доля брака в среднем составляет: на первом предприятии 10 %, а на втором — 5 %. Купленное изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно было выпущено вторым предприятием?

9. В специализированную больницу поступают в среднем 70 % больных с заболеванием К, остальные — с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,8, а болезни М — 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность того, что он болел болезнью K?

10. Один властелин, которому наскучил его звездочет со своими ложными предсказаниями, решил казнить его. Однако, будучи добрым повелителем, он решил дать звездочету последний шанс. Ему велено распределить по 2 урнам 4 шара: 2 черных и 2 белых. Палач выберет наугад одну из урн и из нее вытащит один шар. Если шар будет черным, то звездочета казнят, в противном случае его жизнь будет спасена. Каким образом звездочет должен разместить шары в урнах, чтобы обеспечить себе максимальную вероятность быть спасенным?