- •Российская академия народного хозяйства и государственной службы
- •Оглавление
- •Тема 1. Элементы комбинаторики
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 2. Случайные события §2.1. Классическое определение вероятности события
- •§2.2. Действия над событиями
- •§2.3. Теорема сложения вероятностей
- •§2.4. Понятие условной вероятности
- •§2.5. Теорема умножения вероятностей
- •§2.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •§2.7. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 3. Случайные величины и их законы распределения §3.1. Общие определения
- •§3.2. Дискретные случайные величины и основные законы распределения
- •§3.3. Понятие интегральной и дифференциальной функции распределения
- •§3.4. Непрерывные случайные величины и основные законы распределения
- •§3.5. Действия над случайными величинами и основные числовые характеристики
- •§3.6. Неравенство Чебышева и интегральная теорема Муавра — Лапласа
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 4. Введение в математическую статистику §4.1 Основные определения
- •§4.2. Вариационный ряд и статистическое распределение выборки
- •§4.3. Графическое изображение статистического распределения
- •§ 4.4. Выборочные средние и методы их расчета
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 5. Статистические оценки параметров распределения §5.1 Точечные оценки
- •§ 5.2. Интервальные оценки
- •5.2.1. Доверительные интервалы для оценки параметров m и σ2 нормально распределенной генеральной совокупности
- •5.2.2. Доверительные интервалы для оценки разности средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •5.2.3. Доверительные интервалы для оценки доли признака
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 6. Статистические гипотезы § 6.1. Основные понятия статистической проверки гипотез
- •§ 6.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности некоторому значению
- •§ 6.3. Проверка гипотезы о равенстве генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности некоторому значению
- •§ 6.4. Проверка гипотезы о доле признака
- •§ 6.5. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности
- •§ 6.6. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Приложение
- •Значения функции плотности стандартизированного нормального распределения n (0, 1)
- •Значения функции распределения f (0,1)(X) нормального закона n (0,1);
- •Распределение Пуассона
- •Квантили tp распределения Стьюдента
- •Квантили распределения 2(хи-квадрат)
- •Квантили распределения Фишера f0,99(k1, k2)
- •Квантили распределения Фишера f0,975(k1, k2).
- •Квантили распределения Фишера f0,95(k1, k2)
- •Квантили распределения Фишера f0,90(k1, k2)
- •Заключение
- •Евгений Алексеевич Рапоцевич теория вероятностей и мамематическая статистика Учебное пособие
- •630102, Г. Новосибирск, ул. Нижегородская, 6, СибАгс
§2.4. Понятие условной вероятности
Пусть в пространстве задано два произвольных совместных события A и B.
АВ
А В
Рис. 6 Совместные события
Через N(A) обозначим число элементарных исходов, входящих в событие A. Через N(B) − число элементарных исходов, входящих в событие B., через N(А∙B) — число общих элементарных исходов в событиях А и В, а через N – общее число исходов (см. рис. 6). Тогда по формуле классической вероятности ,, причем.
Условной вероятностью события А при наличии события В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р (А/В) и вычисляется по формуле . То есть, для вычисления условной вероятности мы составляем пропорцию, как общие исходы событий относятся к числу элементарных исходов события, которое произошло. Если числитель и знаменатель последней дроби разделить наN, то получим формулу.
Примеры.
Из колоды, состоящей из 52 карт, извлекается одна карта. Событие A – красная масть, событие B – десятка. Вычислить Р (А/В) и Р (B/A).
Первая условная вероятность − это вероятность выпадения красной масти при условии, что вытащили десятку, а событие A∙B – это красная десятка. Тогда по формуле . Вторая условная вероятность − это вероятность выпадения десятки при условии, что вытащили красную масть. Тогда по формуле.
В терапевтическом отделении больницы 70 % пациентов — женщины, а 21 % — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность того, что он курит?
Пусть событие означает, что пациент — мужчина, а событие— что пациент курит. Тогда по условиюа. Поэтому по формуле условной вероятности искомая вероятность.
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным: Р (А / В) = Р (А); Р (В / А) = Р (В).
Для проверки двух событий на зависимость вычисляют искомую и условную вероятность и сравнивают их между собой.
Пример.
Из колоды, состоящей из 52 карт, извлекается одна карта. Событие A – красная масть, событие B – десятка. Проверить, зависимы эти события или нет.
Находим . Условная вероятность. Следовательно, событияA и B независимы.
Этот же результат даст и другая комбинация.
Находим . Условная вероятность. И они тоже равны между собой.
Задания для самостоятельного решения:
Из стандартного набора домино берется наудачу одна кость. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем, если известно, что сумма очков на ней — четное число.
Вероятность попадания в цель равна 0,7, а вероятность осечки при выстреле равна 0,2. Стрелок прицеливается и стреляет. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
Бросаются две игральные кости. Найти вероятность выпадения двух «шестерок», если известно, что сумма выпавших очков делится на три.
Результаты экзаменов в некоторой группе показывают, что 8% студентов не сдали математику, 6% не сдали историю, а 2% не сдали оба этих экзамена. Наугад выбирается студент. Будут ли события «выбранный студент не сдал математику» и «выбранный студент не сдал историю» независимыми?