§2.7. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Независимые опыты могут производиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления какого-то события А во всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту.

Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с постоянной вероятностью р появляется событие А, то вероятность Р_n (m) того, что событие А произойдет в этих n опытах ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

(m = 0, 1, …, n),

где q = (1 – р) есть вероятность непоявления события А. Эта формула выражает, так называемое, биномиальное распределение вероятностей, причем .

Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событиенаступит:

1. Менее раз — равна;

2. Более раз — равна;

3. Хотя бы один раз — равна ;

4. Не менее раз и не более— равна.

Примеры:

1. Средний процент невозвращения в срок кредита, выдаваемого банком, составляет 5 %. Найти вероятность того, что при выдаче банком 100 кредитов проблемы с возвратом денег возникнут не менее чем в двух случаях.

Воспользуемся схемой Бернулли. Под опытом понимается получение кредита, который был выдан банком. В каждом опыте событие = {кредит не возвращается в срок} происходит с вероятностью. Назовем наступление события«успехом». Указанный опыт проводитсяраз в одних и тех же условиях. Требуется определить вероятность события= {кредит небудет возвращен в срок хотя бы в двух случаях}, а событие = {кредит не будет возвращен в срок менее чем в двух случаях}. Событиеможет быть представлено в виде следующего объединения событий:, где={ровно вслучаях из 100 кредит не будет возвращен в срок},= 0,1. Событияинесовместны. Воспользуемся формулой сложения вероятностей для несовместных событий, где вероятности событийивычисляются по формуле Бернулли .

Таким образом, . Следовательно,

2. Каждый пятый клиент банка приходит в банк брать проценты с вклада. Сейчас в банке ожидает обслуживания шесть человек. Найти вероятность того, что из них будут брать проценты: а) только два человека; б) хотя бы один.

Воспользуемся схемой Бернулли. Число испытаний , вероятность успеха (клиент заберет проценты) равна, вероятность неудачи (клиент не заберет проценты) равна.

а) Вероятность того, что из шести человек только два заберут проценты, равна 0,245 76.

б) Вероятность того, что из шести человек хотя бы один заберет проценты, равна 0,737 856.

3. Чингачгук и его бледнолицый брат, засев в башне с круговым обстрелом, отражают нападение пяти французских солдат. У каждого из героев в карабине по 5 пуль, и пока они могут стрелять, подступиться к ним невозможно. У французов большое количество патронов. Кроме того, у них достаточно удобная позиция за скалами, и вероятность попасть в любого из них равна 1/2. Какова вероятность того, что французы будут полностью разбиты?

Событие = {французы полностью разбиты}. Противоположным является событие= {израсходованы 10 пуль, но хотя бы один француз жив}, т. е. из десяти выстрелов было либо 0 удачных, либо 1 удачный, либо 2 удачных, либо 3 удачных, либо всего 4 удачных. Вероятность этого события вычисляется с использованием формулы Бернулли

.

Искомая вероятность .

4. Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке против приятельского сломанного будильника на то, что при подбрасывании 6 монет выпадет 3 орла. Том считает, что шансы получить или не получить загаданный результат равны. Прав ли он?

Том не прав. Пусть событие = {при подбрасывании 6 монет выпадет ровно 3 орла}. Тогда по формуле Бернулли для последовательности независимых испытаний. Вероятность противоположного события. Как видно, они не совпадают.

5. Самый правдивый человек на свете барон Мюнхаузен иногда все же любит несколько приукрасить действительность и в одном случае из пяти грешит против истины. Какова вероятность того, что из четырех рассказанных им историй— про чудесную штопку коня, разрубленного пополам, про путешествие на ядре в неприятельский город, про оленя, подстреленного вишневой косточкой и про жареных куропаток на шомполе —хотя бы две абсолютно правдивые.

Событие = {хотя бы две истории абсолютно правдивые}. Противоположным является событие= {ни одной или одна история является абсолютно правдивой}. Используя формулу Бернулли, получим.

6. В микрорайоне девять машин технической службы. Для бесперебойной работы необходимо, чтобы не менее восьми машин были в исправном состоянии. Считая вероятность исправного состояния для всех машин одинаковой и равной 0,9, найти вероятность бесперебойной работы технической службы в микрорайоне.

Бесперебойная работа технической службы в микрорайоне будет осуществляться, если исправными будут либо восемь, либо девять машин. По формуле Бернулли вероятность бесперебойной работы технической службы в микрорайоне равна , где. Подставив соответствующие вероятности, получим.

7. По данным технологического, контроля в среднем 2 % выпущенных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Какова вероятность того, что из шести выпущенных станков не менее двух потребуют дополнительной регулировки?

Для решения задачи воспользуемся последовательностью независимых испытаний и связанной с ней формулой Бернулли. В нашей задаче . Имеем:

8. Победу в волейбольном матче одерживает команда, выигравшая 3 партии. Найти вероятность того, что матч между командами, для которых вероятность выигрыша каждой партии равна соответственно 0,8 и 0,2, будет состоять из 5 партий.

Для того чтобы потребовалось играть пятую партию, нужно, чтобы после четырех партий счет в матче был 2:2. Следовательно, каждая из команд должна выиграть любые две партии из четырех. Если есть вероятность выигрыша в каждой партии для первой команды, а— вероятность ее проигрыша, то, применяя формулу Бернулли, найдем, что

Задания для самостоятельного решения:

1. Считая, что в среднем 15 % открывающихся малых предприятий становятся в течение года банкротами, найти вероятность того, что из 10 новых малых предприятий за это время банкротами станут: а) одно предприятие; б) более трех предприятий.

2. Вероятность выигрыша по билету лотереи равна 0,125. Найти вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из пяти.

3. Отмечено, что в городе Новосибирске в среднем 10 % заключенных браков в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из восьми случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года: а) ни одна пара не разведется; б) разведутся две пары.

4. Перерасход горючего в течение рабочего дня наблюдается в среднем по парку у 20 % машин. Найдите вероятность того, что из десяти вышедших на линию машин перерасход горючего произойдет не менее чем у трех машин.

5. В среднем каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила пять договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) один раз; б) хотя бы один раз.

6. Лицензия отбирается у любого торгового предприятия, как только торговая инспекция в третий раз обнаружит серьезное нарушение правил торговли. Найти вероятность того, что лицензия будет отобрана после пятой проверки. Известно, что вероятность обнаружения нарушения при одной проверке равна 0,2 и не зависит от результатов предыдущих проверок.

7. Фирма рассылает рекламные проспекты восьми потенциальным партнерам. В результате такой рассылки в среднем у каждого пятого потенциального партнера возникает интерес к фирме. Найти вероятность того, что это произойдет: а) в трех случаях; б) не более чем в трех случаях.

8. Рабочий обслуживает 12 одинаковых станков. Вероятность того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна примерно . Какова вероятность того, что в течение часа рабочему придется регулировать четыре станка?

9. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) пять семян; б) не менее четырех; в) не более одного.