§ 5.2. Интервальные оценки

Все точечные оценки имеют один недостаток, в них не указывается точность оценки. Возникает вопрос, каким надо взять объем выборки n, чтобы с заданной вероятностью можно было гарантировать заданную точность? Для этого введем вначале понятия точности оценки и надежности оценки.

Надежностью оценки, или доверительной вероятностью оценки, называется вероятность , с которой осуществляется неравенство, где^*  точечная оценка, а   оцениваемый параметр. Число  называется точностью оценки. Число , такое, что =1-, называется уровнем значимости. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используемые значения  = 1   равны 0,90; 0,95; 0,99 или 90%; 95%; 99%.

Точность и надежность оценки взаимосвязаны: с уменьшением точности (т.е. с увеличением ) увеличивается надежность и, наоборот, с увеличением точности уменьшается надежность. Точность и надежность оценки зависят от объема выборкиn; увеличивая объем выборки можно повысить точность и надежность оценки.

Неравенство можно записать в виде.

Интервал ( ^*-, ^*+), в который с вероятностьюпопадает неизвестный параметр, называетсядоверительным интервалом.

Говорят, что доверительный интервал покрывает параметр с надежностью. Надежность оценки и доверительный интервал также взаимосвязаны. Если увеличивать надежность, то и доверительный интервал расширяется. Наоборот, можно сузить доверительный интервал, если ограничиться меньшей надежностью.

С интервальной оценкой связано решение трех типов задач:

1. Определение доверительной вероятности по доверительному интервалу и объему выборки;

2. Определение доверительного интервала по заданной надежности и объему выборки;

3. Определение необходимого объема выборки nпо заданной надежностии доверительному интервалу.

Распределение выборочной средней, уже начиная с n = 20, можно полагать практически нормальным. Это позволяет при оценке генеральной средней использовать те же самые доверительные интервалы, что и для параметров m и  нормально распределенного признака. Однако в этом случае он будет приближенным и существенно зависящим от объема выборки n.

Рассмотрим далее второй тип задач – построение доверительного интервала для параметров нормально распределенной генеральной совокупности, параметра биномиального распределения.

5.2.1. Доверительные интервалы для оценки параметров m и σ2 нормально распределенной генеральной совокупности

Пусть имеется выборка x₁, x₂,..., х_nиз генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону с параметрамиmи, т.е. выборка получена в результатеnнезависимых наблюдений над случайной величинойX, имеющей нормальное распределение. Нужно построить доверительные интервалы для оценки параметровmи, соответствующие доверительной вероятности=1-.

Возможны несколько случаев:

1. Доверительный интервал для генеральной средней mпри известнойбудет иметь вид:,

где z_1-α/2квантиль порядка 1-/2 стандартного нормального распределения.

2. Доверительный интервал для генеральной среднейmпри неизвестнойбудет иметь вид:,

где tквантиль порядка 1-/2 распределения Стьюдента сn-1 степенью свободы, аSисправленное среднее квадратическое отклонение.

3. Доверительный интервал для генеральной дисперсии²будет иметь вид:.

Здесь иквантили порядка/2 и 1-/2 распределения хи-квадрат с n степенями свободы.

Примеры:

1. При измерении нормальной случайной величины со стандартным отклонением, равным 5, и неизвестным математическим ожиданием m получена следующая выборка:

{3, 12, 8, 14, 15, 6, 19, 10, 15, 6}.

Требуется найти доверительный интервал, содержащий параметр m с доверительной вероятностью =0,95 и погрешность оценки для выборочной средней, соответствующую этой доверительной вероятности.

В нашем случае =5, n=10, =0,95. Для точечной оценки получаем:

.

Если =0,95, то α=0,05 и 1-α/2=0,975. По таблице 2 найдемz_0,975квантиль порядка 0,975 стандартного нормального распределения:z_0,975=1,96. Теперь осталось воспользоваться формулой , подставив туда данные в условии , n, найденные z_0,975. Имеем: Таким образом, искомым доверительным интервалом является интервал (7,7; 13,9). Числоназывается погрешностью оценки математического ожидания. Для погрешности получаем следующее значение:

2. Построить доверительный интервал уровня доверия 99% для математического ожидания случайной величины, зная объем выборки n=30, выборочное среднее =5 и несмещенную оценку для дисперсии равную 9.

Если =0,99, то α=0,01 и 1-α/2=0,995. По таблице 4 найдемt_0,995квантиль порядка 0,995 распределения Стьюдента:t_0,995=2.756. Теперь осталось воспользоваться формулой , подставив туда данные в условии S, n, найденные t_0,995. Имеем: Таким образом, искомым доверительным интервалом является интервал (3,49; 6,51).

Задания для самостоятельного решения:

1. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность работы лампы из выборки оказалась равной 1000 ч. Найти 90% доверительный интервал для средней продолжительности работы лампы, случайно выбранной из всей партии, если время работы является нормально распределенной случайной величиной со стандартным отклонением 40 ч.

2. Построить доверительный интервал уровня доверия 90% для математического ожидания случайной величины, зная объем выборки n=20, выборочное среднее =3 и несмещенную оценку для дисперсии равную 10.

3. Построить доверительный интервал уровня доверия 98% для математического ожидания случайной величины с известной дисперсией равной 4, зная объем выборки n=25, выборочное среднее =5.

4. Построить доверительный интервал уровня доверия 99% для дисперсии случайной величины, зная объем выборки n=30 и несмещенную оценку для дисперсии равную 8.

5. Построить доверительный интервал уровня доверия 95% для дисперсии случайной величины, зная объем выборки n=20 и несмещенную оценку для дисперсии равную 9.