§4.3. Графическое изображение статистического распределения

Для наглядности статистическое распределение изображают в виде различных графиков. Выделяют несколько видов.

Распределение дискретной случайной величины изображается полигономчастот, который получается следующим образом. По оси абсцисс откладываются наблюдаемые значения x₁, x₂,..., х_kслучайной величиныX, а по оси ординатсоответствующие частоты этих значений n₁, n₂, …, n_k. Полученные точки с координатами (x_i, n_i) соединяются прямолинейными отрезками. Если в указанном построении вместо частоты берется относительная частота, то получается полигон относительных частот. Два этих графика различаются между собой только масштабом по оси ординат.

Рис.13 Полигон частот

Полигон частот является статистическим аналогом многоугольника распределения для случая дискретного критерия.

Пример.

Имеются следующие данные о размере обуви, проданной магазином за день:

39, 41, 40, 40, 43, 41, 44, 42, 40, 42, 41, 41, 43, 42, 39,

42, 43, 41, 42, 41, 38, 42, 42, 41, 40, 41, 43, 41, 39, 40.

Составим эмпирический закон распределения:

xi	38	39	40	41	42	43	44
ni	1	3	5	9	7	4	1

Построим полигон частот (рис.14).

Рис.14 Полигон частот

Для непрерывно распределенного критерия промежуток, в котором заключены все наблюдаемые значения, разбивается на ряд интервалов. Обычно берут интервалы одинаковой длины h. Если количество интервалов разбиенияkзадано, то, гдеx_minиx_maxминимальная и максимальная варианты. Если число интервалов не задано, то обычно пользуются следующей формулой:, где [x]целая часть числаx.

Гистограммой частот, соответствующей выборке x₁, x₂,..., х_n, называют ступенчатую функцию, принимающую постоянное значениеn_i /hнаiм интервале длиныh. Площадь полученной ступенчатой фигуры равнаn.

Гистограммой относительных частот, соответствующей выборке x₁, x₂,..., х_n, называют ступенчатую функцию, принимающую постоянное значение_i /hнаiм интервале длиныh. Тогда площадьiтого прямоугольника равна_i , а площадь полученной ступенчатой фигуры равна единице.

Если количество наблюдений nнеограниченно возрастает, а длина промежутковhстремится к нулю, то гистограмма относительных частот будет приближаться к плотности распределения исследуемого признака. Поэтому гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения (функции плотностиf(x)).

Рис.15 Гистограмма относительных частот

Задание для самостоятельного решения:

Построить гистограмму и график эмпирической функции распределения выборки из 55 наблюдений, используя 7 интервалов группировки. Выборка:

20,3 15,4 17,2 19,2 23,3 18,1 21,9 15,3 16,8 13,2 20,4 16,5 19,7 20,5

14,3 20,1 16,8 14,7 20,8 19,5 15,3 19,3 17,8 16,2 15,7 22,8 21,9 12,5

10,1 21,1 18,3 14,7 14,5 18,1 18,4 13,9 19,1 18,5 20,2 23,8 16,7 20,4

19,5 17,2 19,6 17,8 21,3 17,5 19,4 17,8 13,5 17,8 11,8 18,6 19,1

§ 4.4. Выборочные средние и методы их расчета

Для характеристики распределения выборки используются различные средние значения. Главнейшими из них являются:

выборочная средняя

выборочная дисперсия

выборочное среднее квадратическое отклонение

исправленная выборочная дисперсия

исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

коэффициент вариации .

Для дискретного распределения случайной величины Xиспользуется первое соотношение первых двух формул, для непрерывного – последующее общее соотношение. Иногда для расчета выборочной средней и выборочной дисперсии непрерывного признака используется группировка данных по интервалам и за значения x₁, x₂,..., х_kв этих формулах берутся, как правило, середины интервалов разбиения (смотри принцип построения гистограммы).

Выборочная средняя является аналогом математического ожидания, что следует из связи относительной частоты и вероятности и сравнения соответствующих расчетных формул. Так же дело обстоит с выборочной дисперсией и выборочным средним квадратическим отклонением. Введем еще ряд менее употребляемых характеристик вариационного ряда.

Модой M₀называется варианта, которая имеет наибольшую частоту.

Пример.

Найти моду эмпирического закона распределения.

xi	1	4	7	9
ni	5	1	20	6

Мода M₀ = 7, так как варианта 7 имеет наибольшую частоту 20.

Медианой m_l вариационного ряда называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант, т.е. еслиn=2k+1, тоm_l =x_k+1, а еслиn=2k, тоm_l = (x_k+x_k+1)/2.

Примеры.

Задан вариационный ряд: 2; 3; 5; 6; 7; тогда m_l = 5.

Если мы имеем вариационный ряд: 2; 3; 5; 6; 7; 9; тогда m_l = (5+6)/2=5,5.

Задания для самостоятельного решения:

Вычислить моду, медиану, среднее и дисперсию следующих выборок:

1. 7, 3, 3, 6, 4, 5, 1, 2, 1, 3.

2. 3,1; 3,0; 1,5; 1,8; 2,5; 3,1; 2,4; 2,8; 1,3.

Размахом варьированияRназывается разность между наибольшей и наименьшей вариантой:R=x_max-x_min. Таким образом, размах является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.

При обработке статистической информации широко используют распределение статистик, вычисляемых по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности. Эти распределения связаны с распределениями , Стьюдента и Фишера.