Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение дискретной и непрерывной случайной величины.

2. Перечислите основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

3. Назовите основные числовые характеристики случайной величины и перечислите их значения для основных распределений.

4. Сформулируйте основные действия со случайными величинами.

5. Перечислите основные свойства числовых характеристик.

6. Дайте определение интегральной и дифференциальной функции распределения, назовите их основные свойства.

7. Сформулируйте теорему Лапласа и Муавра-Лапласа. Укажите условия их применения.

Список основной литературы

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование, 2009. - 478. 

2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с. 

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. : Высш. образование, 2009. – 403.

4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос. службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е. А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.

Список дополнительной литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2006. - 404 с.

2. Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.

3. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.

4. Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть II. Сборник задач и упражнений.  Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.

Тема 4. Введение в математическую статистику §4.1 Основные определения

В математической статистике изучаются методы статистического наблюдения и анализа статистических данных. Одним из основных способов статистического наблюдения является так называемый выборочный метод. Исследуемая совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Совокупностьnобъектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называетсявыборочной совокупностью, или выборкой. Числоnназывается объемом выборки. Метод, состоящий в том, что на основе изучения выборочной совокупности, выделенной из данной генеральной совокупности объектов, делается заключение обо всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.

Пример.

Завод производит электрические лампочки и нас интересует продолжительность их горения, т.е. срок работы. Здесь применение выборочного метода необходимо, потому, что нельзя произвести сплошное обследование лампочек на длительность горения, т.к. после такого испытания лампочка сгорает и не может выполнять своего предназначения.

Можно определить две основные задачи математической статистики:

• Указать способы сбора и группировки статистических сведений.

• Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

Как уже упоминалось ранее, исходную совокупность можно подвергнуть сплошному обследованию, т.е. проверить каждый объект совокупности. Это можно сделать, если объем совокупности не большой. Если это не так, то мы применяем выборочный метод исследования.

Различают повторную выборку, когда выбранный предмет возвращается в генеральную совокупность и участвует на равных правах с остальными при следующем отборе, и бесповторную выборку, когда отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.

Возможные способы отбора разделим на два класса:

1. Без разбиения генеральной совокупности на части. Сюда входят простой случайный бесповторный отбор и простой случайный повторный отбор.

2. С разбиением генеральной совокупности на части. Этот способ включает типический, механический и серийный отборы.

Типический отбор  генеральная совокупность разбивается на типические части, из которых уже извлекаются объекты. Типическим отбором пользуются, когда обследуемый признак сильно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности.

Механический отбор  генеральная совокупность механически делится на столько групп, сколько элементов в выборке и из каждой группы выбирается один объект. Например, с конвейера завода снимают каждую двадцатую деталь. В результате получаем выборку, содержащую 5% деталей.

Серийный отбор  из генеральной совокупности выборка извлекается не по одному объекту, а извлекается сразу целая серия, которая подвергается сплошному обследованию.

Сделаем случайную выборку из генеральной совокупности, получив выборочную совокупность из nэлементов.Для того, чтобы выборка давала правильное представление о массовом явлении, нужно, чтобы она производилась случайным образом, т.е. чтобы вероятность быть выбранным была одинаковой для всех объектов. Это свойство называется репрезентативностью выборки.

Вся генеральная совокупность исследуется относительно некоторого критерия. Критерий может быть количественный (рост, вес, оценка) или качественный (годный−негодный; зачет−незачет). Рассмотрим случай количественного критерия. Как объект критерий есть случайная величина, а она может быть дискретной или непрерывной. В распоряжении исследователя есть n чисел, как реализация критерия на выборке. Если в этой совокупности есть повторяющиеся значения, то критерий дискретный, если нет, то критерий непрерывный. Желательно определить закон распределения этой случайной величины и его основные характеристики: математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

Пример.

Электрические лампочки, произведенные на заводе за определенный период времени –это генеральная совокупность. Количественный критерий Х−срок службы лампочки. Испытав выбранные лампочки на продолжительность горения, получим n числовых значений x₁, x₂,..., х_n , являющихся значением некоторой случайной величины X  продолжительности горения лампочки. По этим данным требуется сделать достаточно надежное суждение о продукции завода. Желательно определить закон распределения случайной величины X и его основные характеристики, математическое ожидание (средняя продолжительность горения), среднее квадратическое отклонение (если эта характеристика большая, то часто будут попадаться лампочки со сроком горения значительно отличающимися от среднего).