§3.6. Неравенство Чебышева и интегральная теорема Муавра — Лапласа

Если в схеме испытаний Бернулли параметры n и k большие числа, то достаточно затруднительно применить формулу Бернулли. В этом случае применяется локальная теорема Лапласа, согласно которой вероятность можно вычислить по формуле, где φ(x)− функция плотности нормального распределения (таблица 1).

Если параметр k попадает в некоторый интервал и при этом значение параметраn большое, то задачу вычисления вероятности помогает решить интегральная теорема Муавра—Лапласа: , где−функция нормального распределения (таблица 2).

Иногда, при решении ряда задач, бывают полезны следующие неравенства Чебышева, которые верны в предположении конечности математического ожидания и дисперсии:

1. ;

2. ;

Примеры:

1. Согласно данным статистической службы области 5,5 % трудоспособного населения составляют безработные. Оценить вероятность того, что в случайно отобранной группе из 1 000 трудоспособных доля безработных будет заключена в границах от 0,045 до 0,065. Решить задачу с помощью неравенства Чебышева и теоремы Муавра—Лапласа.

Пусть случайная величина X_i принимает значение 1, если i-ый выбранный человек безработный, и значение 0 — в противном случае, . Для распределения Бернулли имеем. Доля безработных может быть представлена случайной величиной. Используя свойства математического ожидания и дисперсии для независимых случайных величин, получим. Теперь необходимо оценить вероятность. Проведем очевидные преобразования:

.

Согласно неравенству Чебышева имеем .

Согласно интегральной теореме Муавра — Лапласа имеем

2. Известно, что 30 % призывников имеют 27 размер обуви. Сколько пар обуви надо иметь на складе воинской части, чтобы с вероятностью 0,9 были обеспечены все такие призывники, если в часть прибыло 200 новобранцев?

Очевидно, что имеет место схема Бернулли. Подбор пары обуви каждому призывнику — одно из 200 испытаний, причем вероятность того, что ему потребуется обувь 27 размера, равна 0,3 (это есть вероятность успеха). Пусть на складе имеется пар обуви, гдепока неизвестно. Требуется подобрать такое, чтобы. Посколькувелико, а вероятности успеха и неудачи не малы (0,3 и0,7 соответственно), применяем интегральную формулу Муавра—Лапласа.

Надо решить неравенство . По таблицам функции Лапласа имеемили. То есть на складе достаточно иметь 69 пар обуви такого размера, чтобы с вероятностью 0,9 обеспечить спрос.

3. Вероятность того, что любой зашедший в тир курсант своевременно выполнит упражнения по стрельбе, равна 0,8. Определить вероятность того, что из 100 зашедших курсантов не менее 75 своевременно выполнят упражнения по стрельбе.

Так как значение велико,ине малы, то решение задачи лежит в применении интегральной формулы Муавра — Лапласа:

4. Каждый избиратель независимо от остальных избирателей отдает свой голос за кандидата А с вероятностью 0,7 и за кандидата В — с вероятностью 0,3. Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5 000 избирателей) кандидат А опередит кандидата В не менее чем на 1 900 голосов.

Обозначим через случайную величину, равную числу голосов, поданных за кандидатаА. Тогда имеет биномиальное распределение си, следовательно,. По интегральной теореме Муавра—Лапласа.

Тогда .

5. Средняя температура в квартире в период отопительного сезона равна , а среднее квадратическое отклонение равно. С помощью неравенства Чебышева оцените снизу вероятность того, что температура в квартире отклонится от средней по абсолютной величине менее чем на.

Обозначим через случайную величину, равную температуре в квартире. Тогда по условию задачи случайная величинаимеет.

Имеем .

Но по неравенству Чебышева . Тогда оценка снизу имеет вид. Итак,.

Задания для самостоятельного решения:

1. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый восьмой договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые нужно заключить, чтобы с вероятностью не меньшей чем 0,8, можно было утверждать, что частота страховых случаев отклонится от вероятности не более чем на 0,01 по абсолютной величине. Уточнить результат с помощью формулы Муавра — Лапласа.

2. В среднем каждая тридцатая видеокассета, записываемая в студии, оказывается бракованной. Оценить вероятность того, что из 900 кассет, записанных в студии, число бракованных окажется в пределах от 25 до 35. Решить задачу с помощью неравенства Чебышева и интегральной теоремы Муавра—Лапласа. Сравнить полученные результаты.

3. Выход цыплят в инкубаторе составляет 75 % от числа заложенных яиц. Оценить вероятность того, что из 1 000 заложенных яиц вылупятся: а) ровно 750 цыплят; б) от 720 до 780 цыплят.

4. Известно, что 80 % специалистов в районе имеют высшее образование. Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек высшее образование имеют: а) не менее 70; б) от 65 до 90 человек.

5. Вероятность получения по лотерее проигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 500 наугад купленных билетов не менее 48 и не более 55 безвыигрышных?

6. На выборах мэра города каждый из 1 000 000 избирателей независимо от остальных отдает свой голос за кандидата А с вероятностью 0,6 и с вероятностью 0,4 — за кандидата В. С какой вероятностью на выборах победит кандидат А?

7. В лыжной гонке на 50 км участвуют 10 000 человек. В среднем лишь 80 % участников выдерживают испытание до конца, а остальные сходят с дистанции. Оцените вероятность того, что в этой гонке к финишу придет: а) ровно 3 550 человек; б) не менее 3 550 человек.

8. На факультете обучаются 300 студентов. Предполагая, что вероятность родиться в любой день года одинакова, найдите вероятность того, что ровно 80 студентов факультета будут праздновать дни рождения летом.

9. Известно, что 40 % автомобилей, следующих по шоссе, у развилки поворачивают направо и 60 % — налево. Какова вероятность того, что из 400 автомобилей, проехавших по шоссе, ровно 250 повернули налево?

10. Какова вероятность того, что из 2 450 ламп, освещающих улицу, к концу года будет гореть от 1 500 до 1 600 ламп? Считать, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64.

11. Средняя температура в квартире в течение отопительного сезона равна С, а ее среднее квадратическое отклонение равноС. Оценить вероятность того, что температура в квартире отклонится от средней по абсолютной величине менее чем наС.

12. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наудачу 1 000 лампочек. Оцените вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

13. Фамилия каждого десятого мужчины начинается с буквы М. Найдите вероятность того, что среди 900 солдат полка окажется от 80 до 120 солдат, чьи фамилии начинаются с буквы М.