- •Российская академия народного хозяйства и государственной службы
- •Оглавление
- •Тема 1. Элементы комбинаторики
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 2. Случайные события §2.1. Классическое определение вероятности события
- •§2.2. Действия над событиями
- •§2.3. Теорема сложения вероятностей
- •§2.4. Понятие условной вероятности
- •§2.5. Теорема умножения вероятностей
- •§2.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •§2.7. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 3. Случайные величины и их законы распределения §3.1. Общие определения
- •§3.2. Дискретные случайные величины и основные законы распределения
- •§3.3. Понятие интегральной и дифференциальной функции распределения
- •§3.4. Непрерывные случайные величины и основные законы распределения
- •§3.5. Действия над случайными величинами и основные числовые характеристики
- •§3.6. Неравенство Чебышева и интегральная теорема Муавра — Лапласа
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 4. Введение в математическую статистику §4.1 Основные определения
- •§4.2. Вариационный ряд и статистическое распределение выборки
- •§4.3. Графическое изображение статистического распределения
- •§ 4.4. Выборочные средние и методы их расчета
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 5. Статистические оценки параметров распределения §5.1 Точечные оценки
- •§ 5.2. Интервальные оценки
- •5.2.1. Доверительные интервалы для оценки параметров m и σ2 нормально распределенной генеральной совокупности
- •5.2.2. Доверительные интервалы для оценки разности средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •5.2.3. Доверительные интервалы для оценки доли признака
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Тема 6. Статистические гипотезы § 6.1. Основные понятия статистической проверки гипотез
- •§ 6.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности некоторому значению
- •§ 6.3. Проверка гипотезы о равенстве генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности некоторому значению
- •§ 6.4. Проверка гипотезы о доле признака
- •§ 6.5. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности
- •§ 6.6. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список основной литературы
- •Список дополнительной литературы
- •Приложение
- •Значения функции плотности стандартизированного нормального распределения n (0, 1)
- •Значения функции распределения f (0,1)(X) нормального закона n (0,1);
- •Распределение Пуассона
- •Квантили tp распределения Стьюдента
- •Квантили распределения 2(хи-квадрат)
- •Квантили распределения Фишера f0,99(k1, k2)
- •Квантили распределения Фишера f0,975(k1, k2).
- •Квантили распределения Фишера f0,95(k1, k2)
- •Квантили распределения Фишера f0,90(k1, k2)
- •Заключение
- •Евгений Алексеевич Рапоцевич теория вероятностей и мамематическая статистика Учебное пособие
- •630102, Г. Новосибирск, ул. Нижегородская, 6, СибАгс
§ 6.6. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей
Пусть заданы две нормально распределенные генеральные совокупности. Рассмотрим случаи проверки гипотез о равенстве параметров этих совокупностей. Возможны следующие случаи:
Гипотеза о равенстве их средних
Статистика критерия для проверки гипотезы о равенстве средних нормально распределенных генеральных совокупностей при известных дисперсиях имеет вид
где n1, n2 — объемы выборок;
—выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;
—известные дисперсии генеральных совокупностей.
Критическая область критерия при уровне значимости определяется неравенствами
z* − при альтернативной гипотезе
z* − при альтернативной гипотезе ,
z* < − при альтернативной гипотезе
При этом гипотеза Н0 не отвергается (принимается) на уровне значимости , если соответствующий двусторонний или односторонний доверительный интервал накрывает наблюдаемое значение критерия z*; в противном случае гипотеза Н0 отклоняется.
Статистика критерия для проверки гипотезы о равенстве средних нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных, но равных дисперсиях имеет вид
n1, n2 — объемы выборок;
—выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;
—исправленные выборочные дисперсии исследуемых генеральных совокупностей.
Статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.
Критическая область критерия при уровне значимости определяется неравенствами
t* − при альтернативной гипотезе
t* − при альтернативной гипотезе ,
t* < − при альтернативной гипотезе
При этом гипотеза Н0 не отвергается (принимается) на уровне значимости , если соответствующий двусторонний или односторонний доверительный интервал накрывает наблюдаемое значение критерия t*; в противном случае гипотеза Н0 отклоняется.
Статистика критерия для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных, но неравных дисперсиях имеет вид
n1, n2 — объемы выборок;
—выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;
—исправленные выборочные дисперсии исследуемых генеральных совокупностей.
Дальнейшие действия по проверки гипотезы аналогичны предыдущему случаю.
Гипотеза о равенстве их дисперсий .
Статистика критерия для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных средних имеет вид
Статистика имеет распределение Фишера с степенями свободы.
Критическая область критерия при уровне значимости определяется неравенствами
−при альтернативной гипотезе
−при альтернативной гипотезе
При этом гипотеза Н0 не отвергается (принимается) на уровне значимости , если соответствующий двусторонний или односторонний доверительный интервал накрывает наблюдаемое значение критерия t*; в противном случае гипотеза Н0 отклоняется.
Пример.
При обработке выборок объемов =30 и=20 из генеральных совокупностей с известными дисперсиями иполучены для математических ожиданий и. На уровне значимости 5% проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий против конкурирующей гипотезы о том, что.
Имеем: ;.
Значение α= 0,05; 1-α=0,95. По таблице 2 найдем z0,95квантиль порядка 0,95 стандартного нормального распределения:z0,95=1,645. Вычислим наблюдаемое значение критерия<- z0,95=-1,645. Следовательно, принимается гипотеза .