Регрессионный и корреляционный методы анализа при оптимизации технологических процессов

Эти методы широко применяются в технико-экономи­ческих исследованиях для:

установления зависимости между свойствами продук­ции и технологическими факторами ее изготовления;

установления связи между некоторыми характери­стиками, которые определяют условия эксплуатации из­делий;

изучения взаимосвязи между факторами техноло­гического процесса, а также между факторами и технико-экономическим параметром оптимизации процесса.

Корреляция — это статистическая зависимость, проявляющаяся, когда ре­зультат опыта зависит не только от исследуемых фак­торов, но и от ряда других меняющихся условий. Пар­ная корреляция изучает за­висимость параметра от од­ного фактора, множественная — от нескольких факторов. Оптимизация технологических процессов с помощью корреляционного метода проводится по этапам.

На первом этапе устанавливается наличие корреля­ционной связи между изучаемыми признаками, например между фактором х и параметром оптимизации у. Для этого исходные данные представляются в виде кор­реляционного поля точек с координатами х и у (рис. 22.2).

На втором этапе определяют форму связи. С этой целью производят расчет эмпирической и теоретической линии регрессии. Для построения эмпирической линии регрессии на основании корреляционной таблицы опреде­ляют средние значения параметра оптимизации у для каждого интервала разбиения:

где у — среднее значение параметра у в интервале ∆х₍; y_f — среднее значение у по интервалам ∆y_t; m — число то­чек в интервалах ∆x_i и ∆y_i.

Ломаная линия АВ (рис. 22.2), соединяющая точки (x_iy_i) отрезками, называется эмпирической линией регрес­сии.

По виду эмпирической линии строят и определяют теоретическую линию регрессии CD [в случае прямоли­нейной зависимости по уравнению

Коэффициенты b_o и b₁ определяют с помощью МНК, решая систему нормальных уравнений для выборки N значений:

На третьем этапе определяют тесноту связи между величинами х и у. Для этого вычисляют коэффициент парной корреляции:

Величина r_ху показывает силу связи между параметра­ми х и у. Исследование полученного уравнения прово­дится методом регрессионного анализа и сводится к установлению адекватности уравнения и оценки значи­мости коэффициентов уравнения.

Адекватность уравнения при наличии параллельных опытов проводится по критерию Фишера:

где Soct {у} — остаточная дисперсия; £восп_Р {у} — диспер­сия воспроизводимости.

Числовые значения дисперсий определяют по форму­лам

где y_t — теоретическое значение параметра оптимизации; y_f — среднее значение параметра оптимизации, взятое из п = 2 параллельных опытов; y′_i — значение параметра оп­тимизации в одном из п = 2 параллельных опытов.

Если F_экс < F_табл (f₁, /₂), то уравнение адекватно пред­ставляет результаты эксперимента.

Оценка значимости коэффициентов математической модели проводится по критерию Стьюдента t:

Если ‌‌‌‌׀‌‌‌‌b_i‌‌‌‌׀‌‌‌‌> ∆b_i, то коэффициент F значим.

Адекватность полученного уравнения говорит о воз­можности использовать уравнения для приближенных расчетов параметра оптимизации у по заданным факто­рам x_t.

К недостаткам методов пассивного наблюдения сле­дует отнести: а) необходимость большого количества ин­формации для получения достоверных данных; б) интер­поляционный характер математической модели, т. е. она справедлива лишь для исследуемого интервала измене­ния факторов x_i.

Однако способ пассивной оптимизации является эко­номически эффективным при оптимизации реального не­прерывного процесса. Пассивная оптимизация является подготовкой к активному эксперименту.