3.3.2. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в десятичную
Правила перевода чисел из восьмеричной
и шестнадцатеричной системы счисления
в десятичную – просты. Следует числа 8
и 16 представить как
и
соответственно. Тогда восьмеричное
число в двоичном исчислении выглядит
как
,
а шестнадцатеричное число как
.
Например,
3.3.3. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
Для
перевода восьмеричного числа в
двоичное необходимо заменить каждую
цифру восьмеричного числа трехразрядным
двоичным, при переводе шестнадцатеричного
числа заменить каждую цифру
шестнадцатеричного числа четырехразрядным
двоичным. При этом в последней слева
группе отбрасываются нули слева, а в
последней справа группе отбрасываются
нули справа. Например, восьмеричное
число
в двоичной системе будет выглядеть как
.
=
шестнадцатеричное
число
.
=
.
3.3.4. Перевод чисел с двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную
Для перехода с двоичной системы в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления следует:
-
двигаясь от точки, разделяющую целую и дробную части, влево и вправо,
разбивать
двоичное число на группы по три
(четыре) разряда. Недостающие разряды
чисел в самой левой и самой правой
группе следует представлять нулями; -
каждую группу из трех (четырех) двоичных разрядов заменять соответствующей цифрой восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления.
Например, двоичное число 1101111001.1101 при переводе в восьмеричную систему представляется группами по три разряда с заполнением нулями недостающих разрядов в самой левой и в самой правой группе
.
=
При переводе этого числа в шестнадцатеричную систему оно разбивается на группы по четыре разряда с заполнением нулями недостающих разрадов в самой левой и самой правой группе.
.
=
.
В современных компьютерах используется двоичная система счисления. Шестнадцатеричная (реже восьмеричная) система используется при составлении программ для получения более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, так как эта система не требует специальных операций по переводу в двоичную систему.
Числовые данные, необходимые для решения задач, вводятся в компьютер в привычной, десятичной форме, перевод же в двоичную форму осуществляется программным обеспечением компьютера. Оно же осуществляет обратный перевод при выводе результатов.
3.3.5. Перевод чисел с десятичной системы счисления в другие
При переводе чисел с десятичной системы в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) систему счисления используют различные правила перевода для целой и дробной части.
3.3.5.1. Перевод целых десятичных чисел в двоичные.
Пусть целое число x, представленное в S – системе, необходимо перевести в h – систему. Число x в h – системе представляется в следующем виде
Делением обеих частей уравнения на h получается
Обозначив правую часть
без элемента
через
,
это уравнение можно представить в виде
.
Если теперь обе части этого уравнения поделить на h, то получится
откуда по аналогии с 6.5 уравнение 6.6 можно представить как
и так далее.
Из этого следует правило, что для перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления необходимо:
делить десятичное число на 2 до тех пор, пока частное станет меньше 2. Полученные остатки от деления выписываются в обратной последовательности, образуя двоичное число.
Например, необходимо перевести десятичное число 73 в двоичное.
_
73 2
72 36 2
1 36 18 2 Записав остатки в обратной последовательности,
0 18 9 2 получается число
0 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0
Аналогично производится перевод в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления. В этом случае производится деление десятичного числа на основание 8 или 16. Но проще сделать перевод в двоичную систему, а из нее потом - в восьмеричную или шестнадцатеричную.