Раздел 4. Элементы теории вероятностей

4.1 Классификация событий. Действия над событиями

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат испытания называют событием.

Наблюдаемые нами события можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлен определенный комплекс условий.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлен комплекс условий.

Случайным называют событие, которое при осуществлении комплекса условий может либо произойти, либо не произойти.

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если появление одного их них равносильно не появлению другого. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом (элементарным событием). Эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий и они равновозможны. Те элементарные исходы, в которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.

Суммой, или объединением двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Сумма двух событий А и В обозначается или АВ.

Суммой n событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Сумму n событий A₁, A₂, ..., A_n обозначают A₁+A₂+ ...+A_n =.

Произведением, или пересечением двух событий А и В называют событие, состоящее в одновременном появлении этих событий. Произведение двух событий А и В обозначается АВ или А∩В.

Произведением n событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий, и обозначают A₁·A₂· ... ·A_n =.

Разностью событий А и В называется событие, которое означает, что происходит событие А и не происходит событие В. Разность событий А и В обозначается А – В или А\В.

4.2. Классическое определение вероятности

Вероятностью события A называют отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов испытания, в котором может появиться это событие. Вероятность события A обозначается P(A) и, в соответствии с определением, определяется формулой

(4.2.1)

где т – число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; п –число всех возможных элементарных исходов испытания, образующих полную группу событий.

Это определение вероятности называют классическим.

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице: P(A) =1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю: P(A)=0.

3. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам 0≤P(A) ≤1.