1.4. Примеры

№1. Найти производную функции .

Решение.

№2. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, определить первые производные для функции у=х² на интервале [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить их значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (1.3.1):

Для сравнения этих значений с аналитическими составим таблицу:

i	хi	у=х^2	Аналитические значения у΄=2х	Численные значения у΄
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3	1 1,44 1,96 2,56 3,24 4 4,84 5,76 6,76 7,84 9	2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6	2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6

Таким образом, мы видим, что все значения первой производной полностью совпадают с аналитическими.

№3. Найти вторую производную для функции у=х³ на отрезке [1; 3] с шагом 0,2, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам и сравнить полученные значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (1.3.4):

(первое значение)

(последнее значение)

и т.д. по формуле для внутренних точек.

Для сравнения составим таблицу:

i	хi	у=х^3	Аналитические значения у″=6х	Численные значения у″
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3	1 1,728 2,744 4,096 5,832 8 10,648 13,824 17,576 21,952 27	6 7,2 8,4 9,6 10,8 12 13,2 14,4 15,6 16,8 18	6 7,2 8,4 9,6 10,8 12 13,2 14,4 15,6 16,8 18

Таким образом, получим, что для функции у=х³ численное нахождение второй производной по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

1.5. Варианты заданий

№ 1.5.1. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

1. у=е^х;

2. у=ln x;

3. ;

4. y=sin x;

5. y=e^2x;

6. ;

7. y=ln(x³);

8. y=(x–1)³;

9. y=cos x;

10. y=ln x².

№ 1.5.2. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

11. y=cos x;

12. y=sin(x²);

13. y=sin² x;

14. y=cos² x;

15. y=cos(2x);

16. ;

17. ;

18. y=ln³ x;

19. ;

20. .

№ 1.5.3. Для перечисленных функций, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти вторые производные в точках от 1 до 3 с шагом 0,2 и сравнить полученные значения с аналитическими.

21. у=(x+2)²;

22. y=ln (x+3);

23. y=e^2x;

24. ;

25. ;

26. y=ln(x²);

27. y=;

28. y=sin² x;

29. ;

30. .