Раздел 5. Случайные величины

5.1. Понятие случайной величины. Функция распределения

Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение (числовое), причем заранее неизвестно какое именно.

Случайные величины обозначают большими латинскими буквами X, Y, ..., а принимаемые ими значения – малыми x₁, x₂, ..., y₁, y₂, ....

Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности того, что данная случайная величина примет конкретное значение или попадет в заданный интервал, называется законом распределения случайной величины.

Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), которая для любого числа хR равна вероятности события{X<x}, то есть F(x)=P{X<x}.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1) ;

2) F(x) – неубывающая функция

3) F(–)=0, F(+)=1

4) F(x) непрерывна слева в любой точке

5)

5.2. Дискретные случайные величины (дсв)

Если множество возможных значений случайной величины Х конечно или счетно (это значит, что его элементы могут быть пронумерованы натуральными числами), то есть дискретно, то случайная величина Х называется дискретной.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

xi	x1	x2	....	xn	....
pi	p1	p2	....	pn	....

называемой рядом распределения. x_i – значения Х, p_i – соответствующие вероятности.

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (полигона) распределения (рис.5.2.1).

рис. 5.2.1.

Функция распределения ДСВ имеет вид , где суммирование ведется по всем индексам i, для которых x_i <x.

5.3. Непрерывные случайные величины (нсв)

Если множество значений случайной величины Х заполняет (непрерывно) конечный или бесконечный промежуток на числовой оси, то такая случайная величина называется непрерывной.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси.

Плотностью распределения НСВ Х называется первая производная f(x) ее функции распределения F(x).

f(x)=F^/(x)

Свойства плотности распределения:

1) f(x)≥0 (свойство неотрицательности)

2) (свойство нормированности)

3)

4)

5)

График плотности распределения f(x) называется кривой распределения.

5.4. Числовые характеристики случайных величин

Математическим ожиданием М(Х) ДСВ Х называется сумма произведений всех ее возможных значений x_i на их соответствующие вероятности

Математическое ожидание НСВ Х с плотностью вероятности f(x) находится по формуле

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X–M(X))².

Также можно использовать другую формулу .

Если Х – ДСВ, то или .

Если Х – НСВ с плотностью f(x), то или .

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число σ(Х), определяемое равенством .

Мода ДСВ Х – есть ее наиболее вероятное значение М_о(Х). Мода НСВ Х с плотностью f(x) есть то ее значение М_о(Х), при котором функция f(x) достигает максимум.

Медиана случайной величины Х (обозначение М_е(Х)) – есть такое ее значение x_p, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина Х меньше x_p или больше x_p, то есть P{X<x_p}=P{X>x_p}=0.5.