4.7. Формулы полной вероятности и Байеса

Если событие А может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) H₁H₂…Н_n, образующих полную группу, то вероятность событий равна сумме произведений вероятности, каждой из этих гипотез на соответствующие условные вероятности события А

Р(А)= – формула полной вероятности

Следствием теоремы умножения и полной вероятности является формула Байеса.

Если в результате опыта осуществлялось событие А, то прежние доопытные (априорные) вероятности гипотез Н₁,Н₂,…Н_n должны быть заменены на новые послеопытные (апостериорные) вероятности Р(Н₁\А) Р(Н₂\А)….Р(Н_n\А), которые вычисляются по формуле Байеса:

Р(Н_i\A)=

4.8. Примеры

№1. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

1. Какова вероятность того, что этот шар белый?

2. Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение. а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы Н₁ – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, Н₂ – переложены 2 разноцветных шара, Н₃ – переложены 2 черных шара. Тогда

p(A)=p(Н_i)p(A|Н_i)+p(Н₂)p(A|Н₂)+ p(Н₃)p(A|Н₃)

Вероятности гипотезы Н_i и условные вероятности p(A|Н_i)(i=1, 2, 3) вычисляем по классической схеме:

По формуле полной вероятности получим:

.

б) Вероятность p(H₁|A) находим по формуле Байеса:

№2. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны: q₁=0,01, q₂=0,005, q₃= 0,006. Найти вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной.

Решение. Ведем обозначения: А - "из партии взята стандартная лампочка", Н₁ - "взятая лампочка изготовлена первым заводом", Н₂ -"вторым заводом", H₃ - "третьим заводом". Найдем условные вероятности

Р(А/Н_i)(i=1,2, 3)по формуле

Р(А/H_i) = 1-Р(/H_i),

где - событие, противоположное событию А (взята нестандартная лампочка):

Р(А/H₁) = 1-Р(/H₁) = 1- 0,01 = 0,99, Р(А/Н₂) = 1-Р(/Н₂) = 1-0,005 = 0,995,

Р(А/Н₃) = 1-Р(/H₃) = 1-0,006 = 0,994.

Из условия задачи следует, что Р(H₁) = 0,2, Р(Н₂) = 0,3, Р(Н₃) = 0,5.

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂) + Р(Н₃)Р(А/Н₃) = 0,2 • 0,99 + 0,3 • 0,995+ + 0,5 • 0,994 = 0,198 + 0,2985 + 0,4970 = 0,9935.

№3. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

Решение. Рассмотрим четыре гипотезы:

Н₀ – в самолет не попало ни одного снаряда,

Н₁ – в самолет попал один снаряд,

Н₂ – в самолет попало два снаряда,

Н₃ – в самолет попало три снаряда.

Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятность эти гипотез:

P(H₀)=0,6·0,5·0,3=0,09;

P(H₁)=0,4·0,5·0,3+0,6·0,5·0,3+0,6·0,5·0,7=0,36;

P(H₂)=0,6·0,5·0,7+0,4·0,5·0,7+0,4·0,5·0,3=0,41;

P(H₃)=0,4·0,5·0,7=0,14.

Условные вероятности события А (выход самолета из строя) при этих гипотезах равны

P(A|H₀)=0; P(A|H₁)=0,2; P(A|H₂)=0,6; P(A|H₃)=1.

Применяя формулу полной вероятности, получим

Заметим, что первую гипотезу Н₀ можно было бы не вводить в рассмотрение, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль. Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.