2.8. Примеры

№1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:

1. ;

2. ;

Решение.

1. Почленно поделив числитель подынтегральной дроби на знаменатель, будем иметь

.

Тогда

2. Для нахождения первообразной проведем преобразования, чтобы получить табличный интеграл (в подкоренном выражении выделим полный квадрат):

№2. Найти интегралы методом подстановки:

1. ;

.

Решение.

1. 

2. 

№3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:

1. ;

2. .

Решение.

1. Положим , откуда . Тогда

2. 

№4. Найти приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

Решение.

Так как п=2т, то в нашем примере т=5. По формуле Симпсона получим:

Все дальнейшие расчеты приведены в таблице:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	–2	–1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y(xi)	2,83	3,87	4	4,12	4,9	6,56	8,94	11,87	15,23	18,95	22,98

Окончательно получим,

Точное значение этого интеграла – 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Для сравнения применим к этому же интегралу формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

№5. Вычислить определенный интеграл с помощью формулы прямоугольников, если п=10.

Решение.

По формуле прямоугольников получим: .

Результаты вычислений поместим в таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ti	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
y(ti)	1	0,99	0,96	0,92	0,86	0,80	0,74	0,67	0,61	0,55

Таким образом,

.

Точное значение этого интеграла – 0,79.

2.9. Варианты заданий

№2.9.1. Вычислить интегралы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

№2.9.2. С помощью формул прямоугольников, трапеций, Симпсона вычислить интегралы при заданном числе разбиений и сравнить полученные результаты с точными значениями интегралов, найденными аналитически:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. .

27. ;

28. ;

29. ;

30. ;