4.10. Повторные испытания

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), событие наступит ровно r раз (безразлично, в какой последовательности), равна

где q=1-p.

Вероятность того, что событие наступит: а) менее r раз; б) более r раз; в) не менее r раз; г) не более r раз – находят соответственно по формулам:

а) P_n(0)+P_n(1)+…+P_n(r-1);

б) P_n(r+1)+P_n(r+2)+…+P_n(n);

в) P_n(r)+P_n(r+1)+…+P_n(n);

г) P_n(0)+P_n(1)+…+P_n(r).

Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то пользуются приближенной формулой

,

где k – число появления события в n независимых испытаниях, =np (среднее число появления события в n испытаниях) и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

4.11. Примеры

№1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение. В этом примере используем формулу Бернулли для повторных независимых испытаний

, где n=5, p=0,8 и k=2. q=1-p=0,2 ,

№2. Найдите наиболее вероятное число выигрышей в шахматы в 15 партиях у равносильного противника.

Решение. Для нахождения наиболее вероятного числа успехов k₀ по заданным n и p можно воспользоваться неравенствами np-q<=k₀<=np+p или правилом: если число np+p не целое, то k₀ равно целой части этого числа; если же np+p целое, то k₀ имеет 2 значения k₀^'=np-q и k₀^''=np+p.

В этом примере n=15, p=0,5. Число np+p=15*0,5+0,5=7,5+0,5=8.

Ответ: 8 раз.

№3. Мишень состоит из 3 попарно непересекающихся зон. При одном выстреле по мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка равна 0,5. Для второй и третьей зон эта вероятность равна соответственно 0,3 и 0,2. Стрелок произвел 6 выстрелов по мишени. Найдите вероятность того, что при этом окажется 3 попадания в первую зону, 2 попадания во вторую и одно попадание в третью зону.

Решение. Исходные данные: n=6, k₁=3, k₂=2, k₃=1, p₁=0,5, p₂=0,3 и p₃=0,2. Используем формулу

.

№4. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найдите вероятности следующих событий: а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию; б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию.

Решение. Т.к. р=0,01 мало и n=400 велико, то воспользуемся приближенной формулой Пуассона при λ=400∙0,01=4.

а)

б)

№5. Если в среднем левши составляют 1 %, то какова вероятность того, что среди 200 человек: 1) 4 левши; 2) по крайней мере 4 левши.

Решение.

1)

2) Словосочетание «по крайней мере» означает «не менее 4-х», т.е. 4 и более, т.е.

Р=1-(Р₂₀₀(0)+Р₂₀₀(1)+ Р₂₀₀(2)+Р₂₀₀(3)).

Р_0,200=0,137; Р_1,200=0,274; Р_2,200=0,274; Р_3,200=0,183.

Р=0,132.