5.5. Примеры

№1. Функция распределения непрерывной случайной величины определена формулой:

Определить: а) плотность распределения; б) вероятность попадания случайной величины в интервал .

Решение. а) Так как , то

б)

№2. НСВ распределена с плотностью вероятности в интервале (0; ). Найти функцию распределения F(x).

Решение.

Функцию распределения определим по формуле

.

№3. ДСВ задана рядом распределения

xi	-1	0	1
Pj	0,1	0,3	0,6

Найти M(X), D(X), σ(Х).

Решение. M(X)=–1·0,1+0·0,3+1·0,6=0,5.

D(X)= (–1)²·0,1+0²·0,3+1²·0,6–(0,5)²=0,45.

σ(Х)=≈0,7.

№4. Вычислить дисперсию и средне квадратическое отклонение НСВ, имеющей плотность вероятности:

Решение.

.

5.6. Варианты заданий

1. Дискретная случайная величина Х – число мальчиков в семьях с 3 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) составьте ряд распределения числа рождений мальчиков; б) постройте многоугольник распределения.

2. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной общему числу попаданий в мишень.

3. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Пусть Х – число натуральных делителей выбранного числа. Найдите закон распределения этой случайной величины и вероятность события .

4. Дискретная случайная величина x задана таблицей распределения:

xi	-1	0	1
pi	0,25	0,5	0,25

Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятность события . Постройте график функции F(x).

5. Случайная величина x имеет плотность вероятности

Найдите функцию распределения F(x) и вероятность события

6. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу извлекли три шара. Найти ряд распределения ДСВ Y – числа извлеченных белых шаров.

7. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8, Х – число попаданий в мишень в 100 независимых выстрелах. Найдите M(Х) и D(Х).

8. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

Найдите математическое ожидание величины Х.

9. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

Определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины x.

10. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу извлекли три шара. Найти вероятность того, что извлечено не менее двух белых шаров.

11. Найдите математическое ожидание и средне квадратическое отклонение случайной величины Х, имеющей плотность вероятности

.

12. Плотность вероятности случайной величины Х задана формулой

Найдите M(Х) и D(x).

13. На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них или разрешает, или запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

14. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до первого появления белого шара. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ Х – числа извлеченных шаров.

15. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5, 0,6, 0,8. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель.

16. Подбрасывают две монеты. Найти функцию распределения случайной величины Х – числа выпадений герба.

17. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти: значения А и В, плотность распределения НСВ Х.

18. НСВ Х имеет плотность распределения

Найти функцию распределения F(x), построить графики f(x) и F(x).

19. Задан закон распределения ДСВ Х:

xi	–2	–1	0	1	2	3
pi	0.1	0.2	0.25	0.15	0.1	0.2

Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин Х, –2Х, Х².

20. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

xi	1	2	3	4
pi				с

Найти c, M(X), D(X), σ(Х).

21. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадают при бросании двух игральных костей.

22. Вероятность того, что студент сдаст экзамен на «5», равна 0,2, на «4» – 0,4. Определить вероятности получения им оценок «3» и «2», если известно, что M(X)=3,7, где ДСВ Х – оценка, полученная студентом на экзамене.

23. Плотность вероятности случайной величины Х задается формулой

.

Найти ее числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, средне квадратическое отклонение.

24. Плотность распределения случайной величины Х

.

Найти M(X), D(X), σ(Х).

25. Плотность распределения случайной величины Х задана в виде

.

Найти M(X), D(X).

26. Задана функция распределения случайной величины Х

.

Найти: а) коэффициент С; б) плотность распределения f(x) случайной величины Х и построить графики функций F(x) и f(x); в) Р{X[3; 4)}.

27. У дежурного имеется 7 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Построить ряд распределения числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется). Построить многоугольник этого распределения.

28. Дана плотность распределения случайной величины Х:

.

Определить постоянную b, найти функцию распределения F(x) и построить ее график, вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение, удовлетворяющее условию Х<3,3.

29. Случайная величина Х имеет плотность распределения

.

Найти значение параметра с, функцию распределения F(x), P{1<X<5}.

30. В команде 16 спортсменов, из которых 6 перворазрядников. Наудачу выбирают двух спортсменов. Построить ряд распределения и функцию распределения числа перворазрядников среди выбранных.