Раздел 3. Дифференциальные уравнения

3.1. Основные определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x), и ее производные или дифференциалы.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция y=f(x) зависит от одного независимого переменного.

Если независимых переменных две и больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей (старшей) производной, входящей в данное уравнение.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется такая функция y=φ(x), которая, будучи подставлена в исходное уравнение, обращает его в тождество.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную y=φ(x, C).

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

3.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

, (3.2.1)

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на произведение множителей, каждый из которых зависит только от x или только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Поделив обе части уравнения (3.1.1) на , получим уравнение

,

в котором переменные разделены. Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

, (3.2.2)

где С – постоянная интегрирования. Выражение (3.2.2) является общим решением (общим интегралом, поскольку решение записано в неявном виде) уравнения (3.2.1). Выражая y из (3.2.2) (если это возможно), получаем общее решение дифференциального уравнения в явном виде y=φ(x, C).

Заметим, что уравнению (3.2.1) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на , т.е. получаемые из уравнения =0. Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения (3.2.1).

3.3. Однородные уравнения первого порядка

Функция f(x, y) называется однородной функцией степени n, где n – целое число, если при любом λ имеет место тождество f(λx, λy) = λⁿf(x, y).

Например, f(x,y)= – однородные функции соответственно первой, нулевой и четвертой степени.

Дифференциальное уравнение вида

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 (3.3.1)

называется однородным, если P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинаковой степени.

Уравнение (3.3.1) может быть приведено к виду

(3.3.2)

и при помощи подстановки т.е. y=ux, где u = u(x) – новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также применять подстановку , т.е. x = uy.