4.5. Примеры

№1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов равно 720, т.к. всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по три, т. е. . В данном случае важен состав и порядок расположения этих трех цифр. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Событие– набраны три нужные цифры. Событиюблагоприятствует лишь один исход. Искомая вероятность равна .

№2. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?

Решение. Событие А – «среди пяти выбранных билетов два выигрышных». Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 5 билетов из 50, т.е. числу сочетаний . Определим число исходов, благоприятствующих событию А. Два выигрышных билета из восьми выигрышных можно взятьспособами, при этом остальные 5–2=3 билета должны быть не выигрышными и их взять из 50–8=42 не выигрышных билета можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно ∙. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: .

№4. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Введем обозначения событий: А—первый взятый учебник имеет переплет, В—второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет переплет, Р (А) = 3/6= 1/2.

Вероятность того, что второй ученик имеет переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т. е. условная вероятность события В, такова: Р_А(В) = 2/5.

Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей событий равна

Р(АВ)=Р (А) Р_А(В)= 1/2·2/5 = 0,2.

№5. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7. Найдите вероятность того, что:

а) только один из стрелков попадет в мишень.

б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень.

в) оба стрелка попадут в мишень

г) ни один из стрелков не попадет в мишень

д) хотя бы один из стрелков попадет в мишень.

Решение: Введем обозначение: событие А – попадание первого стрелка, событие В – попадание второго стрелка.

а) Событие С заключается в двух возможных вариантах: либо первый попал А, а второй не попал В, либо первый не попал А, а второй попал В.

(вероятность несовместимости)

(независимые события)

б) Событие С заключается в попадании либо стрелка А, либо стрелка В, либо их одновременное попадание, т.е. С=А+В. Поскольку события А и В являются совместимыми, то

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)

P(A*B)=P(A)*P(B), т.к. независимые события.

P(С)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B)=0,6+0,7-0,6*0,7=1,3-0,42=0,88.

в) Событие С заключено в появления и события А и события В одновременно, которое являются независимыми, то

P(С)=P(A*B)=P(A)*P(B)=0,6*0,7=0,42

г) Событие С состоит в одновременном промахе обоих стрелков, т.е. и поскольку события независимые,

или P(С)=1-p (хотя бы один) =1-0,88=0,12

д) Хотя бы один из стрелков не попадет в мишень, это значит, что событие состоит из трех вариантов:

или P(С)=1-P(A*B)=1-0,6*0,7=1-0,42=0,58.