Раздел 6. Основы статистики. Регрессионный анализ
6.1. Основы математической статистики
6.1.1. Примеры
№1. По данным выборки составить дискретный вариационный ряд. Найти распределение относительных частот. Построить полигоны частот и относительных частот: 2; 7; 9; 9; 8; 7; 5; 9; 8; 5; 8; 9; 5; 7; 5; 9; 9; 7; 9; 7.
Решение.
Упорядочим по возрастанию значения вариант и составим ряд распределения частот.
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
xi |
2 |
5 |
7 |
8 |
9 |
|
ni |
1 |
4 |
5 |
3 |
7 |
Найдем объем выборки
Относительные
частоты для значений выборки найдем
по формуле:
Построим полигоны частот:
№2. Построить эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки:
|
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
ni |
12 |
15 |
23 |
20 |
25 |
5 |
Решение.
Найдем объем всей выборки: n=12+15+23+20+25+5=100.
Составим вариационный ряд по значениям:
|
xi |
ni |
ni/n |
накопленные частости |
|
1 |
12 |
0,12 |
0,12 |
|
2 |
15 |
0,15 |
0,27 |
|
3 |
23 |
0,23 |
0,50 |
|
4 |
20 |
0,20 |
0,70 |
|
5 |
25 |
0,25 |
0,95 |
|
6 |
5 |
0,05 |
1,00 |
|
|
100 |
1,00 |
|
Найдем эмпирическую функцию распределения: F*(1)=P(x<1)=0; F*(2)=P(x<2)=P(x=1)=0,12; F*(3)=P(x<3)=P(x=1)+P(x=2)=0,12+0,15=0,25 и т.д.
При построении графика F*(x) откладываем значение функции в интервале от 0 до 1.
№3. Дана выборка объемом 50 значений:
2,3; 3,6; 5,9; 6,0; 1,2; 2,0; 7,1; 3,4; 1,7; 6,1; 6,4; 2,5; 1,8; 5,6; 3,7; 2,6; 6,3; 3,8; 5,3; 2,7; 1,4; 2,9; 6,7; 7,1; 2,4; 3,6; 6,5; 2,4; 1,3; 2,2; 3,5; 5,8; 6,1; 3,3; 2,9; 2,7; 6,6; 3,1; 2,7; 6,4; 2,5; 2,6; 6,1; 2,8; 6,8; 5,6; 4,7; 7,6; 3,1; 7,6.
Составить интервальный ряд распределения.
Решение.
Для начала составим дискретный вариационный ряд, упорядочив по возрастанию значения и подсчитав их частоту.
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
xi |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.7 |
1.8 |
2.0 |
2.2 |
2.3 |
2.4 |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
|
Ni |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
|
N |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
xi |
2.8 |
2.9 |
3.1 |
3.3 |
3.4 |
3.5 |
3.6 |
3.7 |
3.8 |
4.7 |
5.3 |
5.6 |
5.8 |
|
Ni |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
N |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
xi |
5.9 |
6.0 |
6.1 |
6.3 |
6.4 |
6.5 |
6.6 |
6.7 |
6.8 |
7.1 |
7.6 |
|
Ni |
1 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
По формуле Стерджесса рассчитаем оптимальное число групп, на которые разобьем выборочную совокупность: k=1+3.32·lg50≈6,64. Разобьем нашу совокупность на 7 групп с шагом 1: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8.
Подсчитаем, сколько значений попадает в каждый интервал. Поскольку значение 2,0 попадает точно на границы интервалов 1-2 и 2-3, то будем считать, что оно относится к обоим интервалам, то есть к числам попаданий в первый и второй интервалы n1 и n2 прибавляем по 0,5. Относительная частота попадания в интервал рассчитывается как i=ni/n, где n=50.
Тогда 1=5.5/50=0.11, 2=14.5/50=0.29, 3=9/50=0.18, 4=1/50=0.02, 5=5.5/50=0.11, 6=10.5/50=0.21, 7=4/50=0.08.
Условие нормировки выполнено: 0,11+0,29+0,18+0,02+0,11+0,21+0,08=1
Интервальная таблица будет выглядеть следующим образом
|
Номер интервала |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Интервалы |
1 - 2 |
2 - 3 |
3 - 4 |
4 – 5 |
5 - 6 |
6 - 7 |
7 - 8 |
|
Частота попаданий в интервал, ni |
5,5 |
14,5 |
9 |
1 |
5,5 |
10,5 |
4 |
|
Относительная частота попадания в интервал, i |
0,11 |
0,29 |
0,18 |
0,02 |
0,11 |
0,21 |
0,08 |
№4. Получена таблица частот оценок по контрольной работе у 40 учащихся класса:
|
оценка |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
частота |
3/40 |
8/40 |
25/40 |
4/40 |
Найдите: 1) выборочное среднее значение оценки; 2) выборочную дисперсию; 3) исправленную выборочную дисперсию; 4) выборочное среднее квадратическое отклонение; 5) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; 6) моду; 7) медиану.
Решение.
1)
по формуле
получаем:
;
2) выборочная дисперсия рассчитывается как:
3) исправленную выборочную дисперсию вычислим по формуле:
4) выборочное среднеквадратическое отклонение найдем как:
;
5) исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение
;
6) Mo = 4 (варианта с наибольшей вероятностью).
7) Me = (3+4)/2=3,5.
№5. Дана выборка объемом 10: 4, 6, 2, 2, 8, 6, 4, 2, 2, 4. Найти оценки: 1) начальных и центральных моментов первых четырех порядков; 2) асимметрии и эксцесса этой выборки.
Решение.
Составим дискретный вариационный ряд:
|
xi |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
ni |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
ωi |
0.4 |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
Оценочные значения
начальных моментов вычислим, используя
формулу:
=(2·4
+ 4·3 + 6·2 + 8·1)/10 = 4;
= (22·4
+ 42·3
+ 62·2
+ 82·1)/10
= 20;
= (23·4
+ 43·3
+ 63·2
+ 83·1)/10
= 116,8;
= (24·4
+ 44·3
+ 64·2
+ 84·1)/10
=752;
Для вычисления центральных моментов воспользуемся формулами связи их с начальными.
= 0;
= 20 – 42
= 4;
= 116,8 - 3·4·20 + 2·43
= 4,8;
= 752 - 4·4·116,8 +
6·42·20
-3·44
= 35,2.
Известно, что
является дисперсией распределения Х,
тогда среднеквадратическое отклонение
для данной выборки равно
.
Поэтому
асимметрия
,
а эксцесс
