Вероятность событий
1.1 Элементарные понятия теории вероятности.
Один из способов изучать окружающий мир состоит в том, чтобы проводить наблюдения (или опыты) и регистрировать количественные значения величин, описывающих то или иное явление. Если при многократной регистрации результат каждого конкретного измерения отличается от остальных (пусть даже и незначительно) и не может быть предсказан заранее с абсолютной точностью, говорят, что результат измерения является величиной случайной. Примеры случайной величины - номер выигрышного лотерейного билета, количество попаданий в цель у стрелка на соревнованиях, количество опазданий студента за семестр и т.д. Для работы со случайными величинами был создан специальный математический аппарат, который был обоснован и описан в рамках теории вероятности.
Важными понятиями в теории вероятности являются понятия испытания, исхода испытания и случайного события. Будем использовать термин испытание для таких процедур как опыт, наблюдение, измерение. Результат проведенного опыта будем называть исходом испытания. Будем считать, что испытание можно повторить неограниченное число раз, причем появление каждого из возможных исходов испытания является случайным событием и не может быть предсказано заранее. Как правило, именно с конкретным исходом испытания связывают определенное значение случайной величины. В качестве примера рассмотрим испытание, которое состоит в однократном броске игральной кости в виде кубика с числом очков на гранях от 1 до 6. Случайными событием (или исходом испытания) может быть выпадение той или иной грани кубика, связанной с ним случайной величиной – количество очков на грани.
Исходы испытания называются элементарными, если взаимно исключают друг друга, в совокупности охватывают все возможные случаи (так, как это происходит в только что приведенном примере) и не могут быть представлены в виде комбинации более простых. Они могут быть равновозможными или неравновозможными (например известно, что конструкция кубика «усовершенствована» и одна из граней выпадает чаще остальных).
Можно ввести понятие пространства элементарных исходов, обозначив его греческой буквой . Пространство элементарных исходов - это произвольное множество, элементам которого поставлены во взаимно-однозначное соответствие элементарные исходы данного испытания. Например, для испытания, состоящего в подбрасывании игральной кости можно построить пространство элементарных исходов, соответствующих выпадению грани с определенным числом очков, в виде =1, 2, 3, 4, 5, 6.
Отдельные исходы испытания или их комбинации всегда являются подмножеством множества элементарных исходов . Рассмотрим еще один пример. Пусть испытание, состоит в указании определенной точки внутри заданной области, причем выбор точки осуществляется случайным образом. Выберем область в виде прямоугольника, как это показано на рис.1.
Рис.1. Множество элементарных исходов испытания, состоящего в случайном выборе точки внутри прямоугольной области и событие А.
Множество всех точек прямоугольника – это . Кроме элементарных исходов можно рассмотреть их комбинации. Например рассмотрим событие A, состоящее в попадании точки в область А (рис.1). Множество точек области А образует подмножество множества .