6.3. Свойства функции распределения двумерной случайной величины

Функция распределения двумерной случайной величины обладает несколькими важными свойствами:

1. Из определения вероятности следует, что 0F(x, y) 1

2. F(x, y) – неубывающая функция по каждому своему аргументу

Если x₂x₁, тогда F(x₂, y)  F(x₁, y).

При y₂y₁ F(x, y₂)  F(x, y₁).

То есть, если вершину квадранта сдвигать в сторону увеличения x и y – вероятность может только увеличиться

3. Функция распределения ограничена на бесконечности

F(-, -)=0, F(-, y)=0, F(x, -)=0, F(, )=1

Кроме того,

F(x, )= F₁(x)= P(X x) и F(, y)= F₂(y)= P(Y y),

так как события Y и X являются достоверными.

4. Зная функцию распределения, можно вычислить вероятность попадания в полосу ограниченную двумя значениями одного из аргументов (рис.13):

P(x₁X x₂, Y y) = F(x₂, y) - F(x₁, y).

Y _{(x1, y) (x2, y)}

_{O X}

Рис. 13. Область значений двумерной случайной величины (x₁X x₂, Y y)

Аналогично,

P(Xx, y₁Y y₂) = F(x, y₂) - F(x, y₁).

Из этих двух соотношений легко получить вероятность попадания случайной величины в прямоугольную область (рис.13)

P(x₁X x₂, y₁Y y₂)= F(x₂, y₂) - F(x₁, y₂) – (F(x₂, y₁) - F(x₁, y₁))

Рис.13. Вычисление вероятности попадания двумерной случайной величины в область (x₁X x₂, y₁Y y₂)

Р

Y _{(x1, y2) (x2, y2)}

_{(x1, y1) (x2, y1)}

_{O X}

ассмотрим пример. Пусть функция распределения равна

F(x, y)=sin(x)sin(y)

и необходимо найти вероятность попадания случайной величины в прямоугольник x₁=/6, x₂= =/2, y₁=/4, y₂=/3.

P(x₁Xx₂, y₁Yy₂)=F(/2, /3)-F(/6, /3)-(F(/2, /4)-F(/6, /4))=

=3^0.5/2-3^0.5/4-3^0.5/2+2^0.5/4=0.08

6.4. Функция плотности вероятности непрерывной двумерной случайной величины

Так же, как и в одномерном случае, закон распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть задан либо с помощью функции распределения, либо с помощью функции плотности вероятности. Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), называют вторую смешанную частную производную функции распределения F(x, y)

f

xy

(x, y) = ^2F

Например, если

F(x, y)=sin(x)sin(y)

тогда

^

x

^F=cos(x)sin(y)

и

f

xy

(x, y) = ^2F= cos(x)cos(y)

Плотность вероятности можно рассматривать как предел отношения вероятности случайной величины попасть в прямоугольник с вершиной (x, y) и сторонами x и y к площади этого прямоугольника при условии, что размеры прямоугольника стремятся к нулю.

f

xy x,y0 xy

(x, y) = ^2F = lim ^{P(xX x+x, yYy+y)}

Плотность вероятности непрерывной двумерной случайной величины обладает целым рядом свойств.

1. Плотность вероятности неотрицательна

f(x, y)0

2. Плотность вероятности нормирована

_

∫ ∫ f(x, y)dx dy=1

^--

3. Вероятность случайной величины попасть в заданную область D равна интегралу плотности вероятности по этой области

P((X, Y)D)= ∫ ∫ f(x, y)dxdy

D

4. Зная плотность вероятности f(x, y) всегда можно вычислить функцию распределения F(x, y)

_{x y}

F(x, y)=∫ ∫ f(s, t)dsdt

^--

5. Зная плотность вероятности двумерной величины , можно найти плотность вероятности каждой компоненты

_

f₁(x)=∫ f(x, y)dy

^-

и

_

f₂(y)=∫ f(x, y)dx

^-