5.4. Эмпирическая оценка параметров случайной величины

Подведем основные итоги предыдущих параграфов.

Во-первых, вероятность отдельного события можно оценить, проведя большое число испытаний и найдя относительную частоту его появления (теорема Бернулли)

Во-вторых, согласно центральной предельной теореме, если случайная величина складывается из большого числа независимых случайных величин (формируется под влиянием многих факторов)– она должна быть распределена по нормальному закону.

Эмпирический закон распределения случайной величины можно построить, если провести большое количество испытаний и найти относительную частоту появления каждого значения случайной величины. Например, случайная величина равна k - числу появлений события A в серии из n независимых испытаний, при условии, что вероятность появления A в одном испытании равна p (испытание Бернулли). Если мы повторим серию из n испытаний достаточно много раз и сосчитаем, сколько раз реализовалось каждое значение k, мы сможем построить эмпирический закон распределения, который должен быть близок к биномиальному. Напомним, что при бесконечно большом числе испытаний n этот закон переходит в нормальное распределение.

В третьих, из теоремы Чебышева следует, что для оценки математического ожидания величины можно использовать ее среднее значение.

_

M(X) (X₁ +X₂ +... +X_n)/n= X

Попробуем применить это свойство для оценки других характеристик

Так, для любого центрального момента порядка k

________

M([X-M(X)]^k)([X₁-M(X)]^k+[X₂-M(X)]^k+...+[X_n-M(X)]^k)/n=[X-M(X)]^k

Например, для дисперсии

________

M([X-M(X)]²) ([X₁-M(X)]²+[X₂-M(X)]²+...+[X_n-M(X)]²)/n=[X-M(X)]²

Обычно, при эмпирической оценке дисперсии, математическое ожидание неизвестно и его заменяют средним арифметическим значением случайной величины. Такая замена приводит к дополнительной ошибке и в этом случае говорят, что оценка дисперсии является смещенной. Можно показать, что несмещенная оценка дисперсии может быть получена, если внести поправочный множитель n/(n-1)

_____

_

D(X)=M([X-M(X)]²)n/(n-1)[X-X]²=

_ _ _

=([X₁- X]²+[X₂-X]²+...+[X_n-X]²)/(n-1)

Написанные соотношения можно использовать для оценки параметров закона распределения. Например для распределения Пуассона оценив математическое ожидание можно найти параметр , а для нормальномго распределения – a = M(X) и = D(X)^0.5

6. Система двух случайных величин

6.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины

До сих пор нами рассматривались случайные величины, значения которых определялись только одной переменной. Такие величины называются одномерными. Однако возможны ситуации, когда для описания исхода испытания может понадобиться использовать несколько числовых значений. Например, в качестве случайной величины можно выбрать размеры производимой детали. Если нас интересует ее длина – случайная величина “размер” будет одномерной, если необходимо фиксировать ширину (и высоту) – двумерной (или трехмерной). В общем случае величина может быть n-мерной, где n - любое натуральное число.Двумерную случайную величину обозначим (X, Y), где X и Y – ее составляющие (компоненты). Поскольку величины X и Y рассматриваются вместе, о них можно говорить также как о системе двух случайных величин.

Закон распределения дискретной величины (X, Y) – перечень ее значений (x_i, y_j) с указанием вероятностей их совместного появления p(x_i, y_j)=p_ij. Обычно, закон распределения задают в виде таблицы:

	x1	x2	...	xn
y1	p11	p21		pn1
y2	p12	p22
...	...	...
ym	p1m	p2m		pnm

События (X= x_i, Y= y_j) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна 1.

 p_ij=1

^i,j

Зная закон распределения двумерной случайной величины, всегда можно найти законы распределения и для каждой ее компоненты

P(x_i)= p_ij , P(y_j)= p_ij

^{j i}

Например, закон распределения величины задан в виде (X, Y)

	x1	x2	x3
y1	0.1	0.3	0.2
y2	0.06	0.18	0.16

Тогда для компонент получим законы распределения:

X

xi	x1	x2	x3
pi	0.16	0.48	0.36

Y

yi	y1	y2
Pi	0.6	0.4