- •Вероятность событий
- •1.1 Элементарные понятия теории вероятности.
- •1.2 Операции над случайными событиями
- •1.3 Вероятность случайного события
- •1.4 Формулы комбинаторики
- •1.5 Вероятность произведения событий
- •1.6 Вероятность суммы событий
- •1.7 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Независимые повторные испытания
- •2.1 Формула Бернулли
- •2.2 Наивероятнейшее число появлений успеха в n независимых испытаниях.
- •2.3 Обобщение формулы Бернулли
- •2.4 Формула Пуассона
- •2.5 Локальная теорема Лапласа.
- •2.6 Интегральная теорема Лапласа
- •2.7 Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события a
- •Дискретные случайные величины
- •3.1 Основные определения
- •3.1.1.Дискретная случайная величина
- •3.1.2 Функция дискретной случайной величины
- •3.2 Законы распределения случайной дискретной величины
- •3.2.1. Биномиальное распределение
- •3.2.2. Распределение Пуассона
- •3.2.3. Геометрическое распределение
- •3.2.4. Гипергеометрическое распределение
- •3.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •3.3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.3.2. Математическое ожидание функции дискретной случайной величины
- •3.3.3. Свойства математического ожидания
- •3.3.4. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.3.5. Основные свойства дисперсии
- •3.4 Другие числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.4.1 Среднеквадратическое отклонение
- •3.4.2. Моменты k-го порядка
- •3.4.3. Нормированная случайная величина
- •3.4.4. Функция распределения дискретной случайной величины.
- •3.4.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.4.6. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Непрерывные случайные величины.
- •4.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •5.2. Функция непрерывной случайной величины
- •5.3. Основные характеристики непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Математическое ожидание
- •5.3.2. Дисперсия
- •5.3.3. Мода и медиана
- •5.3.4. Моменты k-го порядка
- •5.3.5. Асимметрия и эксцесс.
- •5.3. Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Равномерное распределение
- •5.3.2. Показательное распределение
- •5.3.3. Нормальное распределение
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Центральная предельная теорема
- •5.2. Неравенство и теорема Чебышева.
- •5.3. Теорема Бернулли (Закон больших чисел)
- •5.4. Эмпирическая оценка параметров случайной величины
- •Система двух случайных величин
- •6.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
- •6.2. Функция распределения двумерной случайной величины
- •6.3. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •6.4. Функция плотности вероятности непрерывной двумерной случайной величины
- •6.5. Функция двумерной случайной величины
- •6.6. Условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины
- •6.6.1. Условные законы распределения дискретной случайной величины
- •6.6.2. Условные законы распределения непрерывной случайной величины
- •6.6.3. Условное математическое ожидание
- •6.7. Корреляция случайных величин
- •6.7.1 Независимость компонент двумерной случайной величины
- •6.7.2. Корреляционный момент и коэффициент корреляции
- •6.7.3. Линейная регрессия, линейная корреляционная зависимость.
1.5 Вероятность произведения событий
Пусть имеется пространство элементарных исходов испытания . На этом пространстве заданы события A и B с вероятностями P(A) и P(B). Если пользоваться классическим определением вероятности P(A)=mA/n, P(B)=mB/n. Из указанных событий можно построить событие AB, его вероятность мы определим как P(AB)=mAB/n. Здесь mAB - число элементарных исходов, благоприятствующих одновременно и событию A и событию B.
Известно, что в результате испытания событие A произошло. Необходимо найти вероятность события B при условии наступления события A.Такая вероятность обозначается символом P(B/А) и называется условной. Чтобы ее рассчитать, необходимо определить отношение числа исходов, благоприятных для события B при условии наступления события А, к полному числу исходов, соответствующих наступлению А. Для нее можно записать следующее выражение
P(B/А)= mAB/mA= P(AB)/P(A)
Если рассмотреть геометрическую интерпретацию задачи, mAB и mA необходимо заменить на площади соответствующих фигур (см. рис.3, или рис.6). Результирующее выражение при этом останется тем же самым.
Переписав выражение для условной вероятности, получим формулу для вероятности произведения событий
P(AB) = P(A)P(B/А)
Данное выражение носит название теоремы умножения вероятностей.
Важным понятием, связанным с определением вероятности произведения является понятие независимости событий. События A и B являются независимыми тогда и только тогда, когда их условные вероятности равны их полным вероятностям, то есть P(B/А)= P(B), P(А/B)= P(А). Для независимых событий всегда
P(АВ)= P(А)P(В)
Если равенство не выполняется, события являются зависимыми. Например, события A и B, для которых P(A)=0.2, P(B)=0.6, а P(AB)= 0.08, являются зависимыми.
В общем случае, если события A и B совместны (рис.3.), то AB Ø , P(AB)0 и независимость событий определяется только по количественному соотношению между их вероятностями и вероятностью их произведения.
На рис. 6 площадь события B совпадает с площадью события AB, P(B)=P(AB), и события сразу можно определить как зависимые.
На рис. 2б. изображены несовместные события. В этом случае P(A)0, P(B)0 при P(АВ)=0 и такие события всегда являются зависимыми.
В случае большего числа событий выражение для вероятности их произведения имеет более сложную форму. Для трех событий оно записывается как
P(ABС) = P(AB)P(C/AB)= P(A)P(B/A)P(C/AB)
Для независимых событий
P(ABС) = P(A)P(B)P(C)
1.6 Вероятность суммы событий
Рассмотрим два совместных события A и B с вероятностями P(A) и P(B) на пространстве элементарных исходов (рис.3). Сумму этих событий можно записать в виде
A+B=A\AB+B\AB+AB.
Напомним, что выражение A\AB (разность событий) означает, что событие А произошло но не произошло событие АВ.
Вероятность суммы событий можно вычислить, используя геометрическое определение. Очевидно, что площадь фигуры A+B
sA+B=sA\AB+ sB\AB+ sAB= sA+ sB- sAB
и
P(A+B)= P(A/AB)+ P(B/AB)+ P(AB)= P(A)+ P(B)- P(AB)
Таким образом, для совместных событий
P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB)
В случае несовместных событий P(АВ)=0 и
P(A+B)= P(A)+P(B)
В качестве примера найдем вероятность события A+B , если известно, что P(A)=0.2, P(B)=0.6, а P(AB)= 0.08. Подставив данные в формулу, получим P(A+B)=0.72.
Решим пример при условии, что события A и B имеют те же вероятности, но являются независимыми: P(A+B)=0.2+0.6-0.12=0.68.
В случае, если событий несколько и они совместны, выражение для суммы усложняется. Так для трех совместных событий A, B и С:
P(A+B+С)= P(A)+P(B)+P(С)- P(AB) - P(AС) - P(BС)+ P(ABС)
Если рассмотреть события A1, A2, ...An, образующие полную группу (попарно несовместные и в сумме дающие достоверное событие), вероятность их суммы будет равна
P(A1+ A2+ ...+An)= P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)= P()=1
В частном случае, для событий Ā и А
P(A+ Ā )= P(A)+ P(Ā)= P()=1
и
P(Ā)=1- P(A)
Таким образом, вероятность события, противоположного данному, всегда можно найти, если известна вероятность самого события.
Рассмотрим пример. Стрелок попадает в первое кольцо мишени с вероятностью 0.5, во второе – с вероятностью 0.3, в центр – с вероятностью 0.1 Необходимо найти вероятность промаха. Поскольку события, связанные с попаданием в мишень несовместны, мы можем найти вероятность события, противоположного промаху, которое состоит в том, что стрелок попал в мишень P(Ā)=0.5+0.3+0.1=0.9. Тогда вероятность искомого события P(A)=1-0.9=0.1.
Если события A1, A2, ...An независимы, вероятность их суммы можно определить по формуле
___________ _ _ _
P(A1+ A2+ ...+An)=1- P(A1+ A2+ ...+An)= 1- P(A1A2 ...An)=
_ _ _
= 1- P(A1)P(A2) ... P(An)