4. Непрерывные случайные величины.

4.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Дискретные случайные величины определены на множестве элементарных исходов, которое является конечным или счетным. Однако возможны ситуации, когда случайная величина принимает непрерывный ряд значений. В этой ситуации в качестве закона распределения можно ввести функцию распределения вероятностей случайной величины. Мы вводили такую функцию для дискретного случая, и теперь можем написать ее для непрерывной случайной величины.

Как и в дискретном случае, под функцией распределения будем понимать функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее чем x.

F(x)=P(Xx), -x

Функция распределения непрерывной случайной величины является дифференцируемой. Производная функции распределения

f(x)=dF(X)/dx

является кусочно-непрерывной и носит название плотности вероятности.

Будем говорить, что задана непрерывная случайная величина X, если задан ее закон распределения в виде функции распределения F(X) или плотности вероятности f(x). Для этих функций выполняется целый ряд свойств :

1. 0F(x)1

2. F(-)=0, F()=1

3. x₂ x₁, F(x₂)F(x₁) - функция F(x) является неубывающей

_x

4. F(x)=P(-Xx)= ∫ f(t)dt

^-

5. f(x) 0

x₂

6. P(x₁xx₂)= ∫f(t)dt= F(x₂)- F(x₁)

x₁

_

7. P(-x)= ∫f(t)dt=1

^-

8. P(X=x₀)=0

Таким образом, зная закон распределения, всегда можно определить для случайной величины вероятность попасть в заданный интервал, однако в силу того, что случайная величина принимает бесконечно много значений, вероятность каждого конкретного значения равна 0.

5.2. Функция непрерывной случайной величины

Так же, как и в дискретном случае можно ввести функцию непрерывной случайной величины. Пусть имеется случайная величина X, f(x), F(x) и монотонная функция y=(x), для которой существует обратная дифференцируемая функция x=(y). Опеределим случайную величину Y=(x) как числовую функцию, которая каждому элементарному исходу испытания, характеризуемому значением x, ставит в соответствие число, равное (x). Чтобы определить случайную величину Y, необходимо кроме ее значений задать закон распределения, то есть найти ее функцию распределения G(y) и плотность вероятности g(y). Можно показать, что для этих функций должны выполняться следующие равенства

G(y)= F((y)) и g(y)= f((y))(y)

5.3. Основные характеристики непрерывной случайной величины

5.3.1. Математическое ожидание

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл плотности вероятности

_

M(x)= ∫ xf(x)dx

^-

В случае, если функция плотности вероятности отлична от нуля только на интервале axb

_b

M(x)= ∫ xf(x)dx

^a

5.3.2. Дисперсия

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания

_

D(x)= ∫[x-M(X)]²f(x)dx

^-

В случае, если функция плотности вероятности отлична от нуля только на интервале axb

_b

D(x)= ∫[x-M(X)]² f(x)dx

^a

Для дисперсии и математического ожидания непрерывной случайной величины выполняются те же свойства, что и для дискретной.