3.2.4. Гипергеометрическое распределение

Случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с параметрами i, l, m, если она может принимать значения с вероятностями p_k=p(X=k)= C_l^kC_m^i-k/C_l+mⁱ, где k=0,1,2, ..., l, kil+m, где i, l, m - целые числа. Пусть имеется коробка, в которой находятся l белых и m черных шаров. Случайная величина i – число вынутых белых шаров -имеет гипергеометрическое распределение.

3.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины.

3.3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть X- дискретная случайная величина, имеющая закон распределения {x_i, p_i}. Математическим ожиданием случайной величины X называется число M(X) определяемое выражением

M(X)=p_ix_i

ⁱ

Если случайная величина X имеет бесконечно много значений, ряд может не иметь конечного предела. В этом случае говорят, что математическогоо ожидания у случайной величины не существует.

Найдем математическое ожидание для случайной величины

xi	-2	-1	0	1	2
pi	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

X

M(X)=-20.1-10.2+00.3+10.3+20.1

3.3.2. Математическое ожидание функции дискретной случайной величины

Если задана функция дискретной случайной величины Y=(X) , ее математическое ожидание

M(Y)=p_i(x_i)

ⁱ

Пусть например, случайная величина задана законом распределения

xi	-2	-1	0	1	2
pi	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

X

Для величины Z, z_i=x_i²+1

zi	1	2	5
pi	0.3	0.5	0.2

Z

M(Z)= 0.3+1+1=2.3=50.1+20.2+10.3+20.3+50.1

3.3.3. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание константы равно этой константе

M(C)=C

2. Математическое ожидание произведения случайной величины на константу равно произведению этой константы на математическое ожидание случайной величины

M(CX)=C·M(X)

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

M(X+Y)= M(X)+M(Y)

Входящая в выражение случайная величина X+Y принимает значения, равные суммам всех различных пар значений X и Y. Если величины X и Y независимы, то есть вероятности различных значений одной величины не зависят от того, какое значение приняла другая, тогда вероятность любого значения X+Y равна произведению полных вероятностей соответствующих значений X и Y. Если же величины X и Y зависимы, необходимо находить произведение вероятности значения одной величины на условную вероятность значения второй. Докажем данное свойство для простого случая. Пусть заданы две случайных величины

xk	x1	x2
pk	p1	p2

X

и

yi	y1	y2
pi	g1	g2

Y

Z= X+Y

zi	x1+ y1	x2+ y1	x1+ y2	x2+ y2
pi	p11= p1 g11	p21= p2 g21	p12= p1 g12	p22= p2g22

В последней таблице g_ij –условные вероятности для события y_j/x_i , состоящего в том, что случайная величина приняла определенное значение y_j при заданном x_i. Поскольку события, состоящие в том, что случайная величина Y примет значение y₁ или y₂ образуют полную группу, то и события, соответствующие тому, что данная величина примет значение y₁/x_i или y₂/x_i образуют полную группу, а значит сумма соответствующих условных вероятностей равна 1.

g_i1 + g_i2 =1.

Если величины X и Y независимы, то вероятность g_ij = g_j.

M(X+Y)=( x₁+ y₁)p₁₁+( x₂+ y₁)p₂₁+( x₁+ y₂)p₁₂+( x₂+ y₂)p₂₂=

=x₁(p₁₁+ p₁₂)+x₂(p₂₁+ p₂₂)+y₁(p₁₁+ p₂₁)+y₂(p₁₂+ p₂₂)=

= x₁p₁+ x₂p₂+y₁g₁ +y₂g₂= M(X)+M(Y)

Для нескольких случайных величин можно записать аналогичное выражение

M(X₁+X₂+X₃)= M(X₁)+M(X₂)+ M(X₃)

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

M(X Y)= M(X) M(Y)

Под произведением случайных величин понимают случайную величину, которая принимает значения равные произведению всех различных пар значений величин X и Y.

Пусть заданы две независимых случайных величины

xk	x1	x2
pk	p1	p2

X

и

yi	y1	y2
pi	g1	g2

Y

Величина Z= XY

zi	x1y1	x2y1	x1y2	x2y2
pi	p11= p1 g1	p21= p2 g1	p12= p1 g2	p22= p2g2

M(X Y)=x₁y₁ p₁₁+ x₂y₁ p₂₁+ x₁y₂ p₁₂+x₂y₂ p₂₂=

= x₁y₁ p₁ g₁+ x₂y₁ p₂ g₁+ x₁y₂ p₁ g₂+x₂y₂ p₂g₂=

=(x₁p₁+x₂p₂)y₁g₁+(x₁p₁+x₂p₂)y₂g₂=

=(x₁p₁+x₂p₂)(y₁g₁+y₂g₂)= M(X) M(Y)

Аналогичное свойство можно доказать и для произвольного числа случайных величин.

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно 0.

M(X-M(X))= M(X)- M(M(X))= M(X)- M(X)=0

6. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно-независимых величин X_i с математическим ожиданием M(X_i)=a равно а.

_

M(X)= M((X₁+ X₂+...+ X_n)/n)=(a+a+...+ a)/n= na/n=a

Таким образом, для оценки математического ожидания величины можно использовать оценку математического ожидания среднего арифметического ее значений.

7. Если вероятность появления события A в одном испытании равна p, математическое ожидание случайной величины X, равной числу появлений события A в n независимых испытаниях M(X)= np

Пусть X₁ – случайная величина, равная числу появлений события A в одном испытании. Ее закон распределения выглядит следующим образом:

xk	0	1
pk	1-p	p

X₁

M(X₁)=0(1-p)+ 1p=p

Случайная величина

X= X₁+ X₁+... X₁

^{n раз}

и

M(X)=M(X₁+ X₁+... X₁)= p + p +...+ p= np