2.6 Интегральная теорема Лапласа

Пусть проводятся n независимых одинаковых испытаний, число исходов одного испытания равно двум (A и Ā), p - вероятность появления события A - постоянна и отлична от нуля и единицы. Вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз

_x΄΄

P_n(k₁, k₂) 1/(2)^0.5∫e^-z2/2dz=Ф(x΄΄)-Ф(x΄)

^x΄

Входящая в это выражение функция Лапласа

_x

Ф(x) = 1/(2)^0.5∫e^-z2/2dz

⁰

является нечетной, Ф(x) = -Ф(-x), ее значения также затабулированы. Входящие в выражение для функции Лапласа переменные x΄΄=(k₂-np)/(npq)^0.5, x΄=(k₁-np)/(npq)^0.5.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу. Пусть вероятность того, что изготовленная заводом деталь имеет брак, равна 0.2. Необходимо найти вероятность того, что из 400 деталей бракованных окажется не менее 70 и не более 100. Подставим имеющиеся данные в формулу

x΄΄= (70-4000.2)/(4000.20.8)^0.5= -1.25,

x΄= (100-4000.2)/(4000.20.8)^0.5=2.5,

P₄₀₀(70,100)Ф(2.5)-Ф(-1.25)=Ф(2.5)+Ф(1.25)=

=0.4938+0.3344=0.8882

2.7 Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события a

Пусть проводится n одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p. При достаточно большом n относительная частота _А= n_А/n (n_А - число испытаний, в которых появилось событие А) будет близка к известному значению вероятности p. Вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p окажется не больше, чем малая величина 

P(|_А -p|)=2Ф((n/pq)^0.5)

Выражение в скобках можно переписать в виде

-n_A/n-p

Таким образом, нам необходимо найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится n_А раз, где n_А лежит в пределах k₁, k₂

k₁=(p -)n n_A (+ p)n=k₂

Если подставить k₁ и k₂ в формулы для интегральной теоремы Лапласа, получим

x΄΄=(n/pq)^0.5

x΄=-(n/pq)^0.5

и вероятность попадания n_A в заданный интервал

P_n(k₁, k₂) 2Ф((n/pq)^0.5)

3. Дискретные случайные величины

3.1 Основные определения

3.1.1.Дискретная случайная величина

Пусть определено испытание и пространство его элементарных исходов , которое является конечным либо счетным (каждому элементу можно присвоить свой уникальный номер i). Дискретной случайной величиной называется произвольная числовая функция, определенная на таком пространстве . Каждому элементарному исходу _i (наступающему с вероятностью p_i0) эта функция ставит в соответствие определенное значение случайной величины x(_i). Для обозначения случайных величин используются большие латинские буквы (X, Y, Z...). Соответствие _ix(_i) не обязательно взаимно-однозначное, нескольким элементарным исходам может соответствовать одно и то же значение случайной величины x_k. В этом случае вероятность того, что случайная величина примет данное значение, определяется как сумма вероятностей всех соответствующих исходов

p_k=p_i (x(_i)= x_k)

ⁱ

Совокупность пар {x_k, p_k} называется законом распределения случайной величины X. Обычно закон распределения дискретной случайной величины строится в виде таблицы:

X

xk	x1	x2	...	xm
pk	p1	p2	...	pm

Для любого закона распределения сумма всех вероятностей p_k должна быть равна 1.

В качестве примера построим закон распределения для случайной величины X, которая представляет собой число выпавших гербов при броске трех монет:

Число элементарных исходов испытания, состоящего в броске трех монет согласно принципу умножения равно 2³ (каждая монета может выпасть двумя способами). Число исходов, благоприятных событию “не выпало ни одного герба” равно C₃⁰=3!/(3!0!)=1, событию “ выпал один герб” равно C₃¹=3!/(2!1!)=3, событию “ выпало два герба” равно C₃²=3!/(2!1!)=3, событию “ выпало три герба” равно C₃³=1, и закон распределеня выглядит как

X

xk	0	1	2	3
pk	1/8	3/8	3/8	1/8

Найдем закон распределения для числа белых шаров среди трех, наудачу отобранных из коробки, в которой есть 2 белых и три черных шара. Вероятности того, что будет вынуто 0 шаров, 1 и 2 шара соответственно равны p(0)=C₂⁰C₃³/C₅³=1/10, p(1)= C₂¹C₃²/C₅³=6/10, p(2)= C₂²C₃¹/C₅³=3/10, и закон распределения выглядит как

Y

yi	0	1	2	3
pi	1/8	3/8	3/8	1/8

Закон распределения числа бросков кубика до появления первой единицы будет выглядеть как

zi	0	1	2	...	k
pi	1/6	1/65/6	1/6(5/6)^2	...	1/6(5/6)^k

Z