3.3.4. Дисперсия дискретной случайной величины

Рассмотрим две дискретные случайные величины.

xk	-0.01	0.01
pk	0.5	0.5

X₁

и

xk	-100	100
pk	0.5	0.5

X₂

Легко убедиться, что математические ожидания для этих величин совпадают:

M(X₁) = M(X₂)=0

Математическое ожидание не несет информации о степени разброса отдельных значений случайной величины, поэтому для характеристи такого разброса нужна еще одна переменная. Как было показано в предыдущем параграфе, математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания всегда равно нулю

M(X-M(X))= 0

Следовательно, такую переменную для характеристики разброса значений использовать мы не можем. Чтобы оценить разброс значений вводится переменная, которая называется дисперсией. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

D(X)=M([X-M(X)]²)

Дисперсия дискретной случайной величины с заданным законом распределения

X

xi	x1	x2	...	xm
pi	p1	p2	...	pm

Рассчитывается по формуле

D(X)= (x_i- M(X))²p_i,

ⁱ

где M(X) - математическое ожидание дискретной случайной величины. Если подставить в эту формулу данные для X₁ и X₂ - получим два различных значения дисперсии

D(X₁)=0.5(-0.01-0)²+0.5(0.01-0)²=0.0001

D(X₂)=0.5(-100-0)²+0.5(100-0)²=10000

Для дисперсии случайной величины может быть доказана следующая теорема:

Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания

D(X)=M([X]²)-[M(X)]²

Легко проверить, что

D(X)=M([X-M(X)]²)= M(X²-2M(X)X+[M(X)]²)=

= M([X]²)-2[M(X)]²+[M(X)]²= M([X]²)-[M(X)]²

Например, для величины X₂

M([X₂]²)=0.5(-100)²+0.5(100)²=10000

D(X₂)= M([X₂]²)-[M(X₂)]²=10000-0²=10000

3.3.5. Основные свойства дисперсии

1. Дисперсия константы равна нулю.

D(C)=M([C-M(C)]²)= M([C-C]²)=0

2. Дисперсия произведения случайной величины на констану равна квадрату константы умноженному на дисперсию случайной величины

D(СX)=M([СX-M(СX)]²)=M([СX-СM(X)]²)=

=M(С²[X-M(X)]²)=С²D(X)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Если величины зависимы, к сумме дисперсий необходимо добавить удвоенную ковариацию этих величин.

Прежде чем доказывать это свойство, введем новую величину, которую назовем ковариацией. Определение этой величины мы рассмотрим позднее, а пока запишем для нее следующее равенство:

Cov(X, Y)=M(XY)-M(X)M(Y)

В случае, если величины независимы,

M(XY)=M(X)M(Y)

и

Cov(X, Y)=0

Докажем, что в общем случае

D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X, Y)

Для доказательства воспользуемся рассмотренной выше теоремой для дисперсии и свойствами математического ожидания:

D(X+Y)= M([X+Y]²)-[M(X+Y)]²= M([X²+Y²+2XY])-[M(X)+M(Y)]²=

= M(X²)+M(Y²)+2M(XY)-[(M(X))²+(M(Y))²+2M(X)M(Y)]=

= [M(X²)-(M(X))²]+[M(Y²)-M(Y))²]+2(M(XY)- M(X)M(Y))=

= D(X)+D(Y)+2 Cov(X, Y)

Для независимых случайных величин

D(X+Y)= D(X)+D(Y)

Аналогичное свойство можно записать и для нескольких случайных величин. Рассмотрим величины X₁, X₂, ..., X_n c дисперсиями D(X₁), D(X₂) ...,D(X_n) и математическим ожиданиями M(X₁), M(X₂) ..., M(X_n). Известно, что

M(X₁+X₂+ +X_n)= M(X₁)+M(X₂)+...+ M(X_n)

Рассмотрим

D(X₁+X₂+ +X_n)=M([ (X₁+X₂+...+ X_n)- M(X₁+X₂+...+ X_n)]²)=

=M([X₁- M(X₁)+X₂- M(X₂)...+ X_n- M(X_n)]²) =

=M[(X₁- M(X₁))²+(X₂- M(X₂))²+...+(X_n- M(X_n))²+

+2(X₁- M(X₁))(X₂- M(X₂))+...+2(X_n-1- M(X_n-1)) (X_n- M(X_n))]=

=D(X_i)+ 2Cov(X_i, X_j),

^{i ij}

4. Используя доказанное выше свойство для дисперсии суммы двух случайных величин можно показать, что дисперсия суммы случайной величины и константы равна дисперсии этой случайной величины, то есть дисперсия не меняется при смещении всех значений случайной величины на одну и ту же константу.

D(X+С)= D(X)+ D(С)= D(X)

5. Для среднего арифметического n случайных величин, имеющих одинаковое распределение с математическим ожиданием M(X_i)=a, D(X_i)=d, дисперсия уменьшается в n раз

_

D(X)= D((X₁+ X₂+...+ X_n)/n)=1/n²( D(X₁)+ D(X₂)+...+ D(X_n))/n=

=nd/n²=d/n

Исходя из этого свойства можно утверждать, что при многократных измерениях одной и той же характеристики, среднее значение нескольких измерений будет точнее описывать ее истинную величину, чем одно отдельное измерение, так как отклонение от математического ожидания (ошибка измерения) тем меньше, чем больше число измерений.

6. Дисперсия случайной величины X, равной числу появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p, D(X)=npq, где q=1- p.

Можно показать, что для переменной X₁ с законом распределения

xk	0	1
pk	1-p	p

X₁

M(X₁)=0(1-p)+ 1p=p

и

D(X₁)= M([X₁]²)-[M(X₁)]²=1²p+0² (1-p)- p²= p- p²= p (1-p)= pq

Случайная величина

X= X₁+ X₁+... X₁

^{n раз}

и

D(X)=D(X₁+ X₁+... X₁)= pq+ pq+...+ pq= npq