- •Вероятность событий
- •1.1 Элементарные понятия теории вероятности.
- •1.2 Операции над случайными событиями
- •1.3 Вероятность случайного события
- •1.4 Формулы комбинаторики
- •1.5 Вероятность произведения событий
- •1.6 Вероятность суммы событий
- •1.7 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Независимые повторные испытания
- •2.1 Формула Бернулли
- •2.2 Наивероятнейшее число появлений успеха в n независимых испытаниях.
- •2.3 Обобщение формулы Бернулли
- •2.4 Формула Пуассона
- •2.5 Локальная теорема Лапласа.
- •2.6 Интегральная теорема Лапласа
- •2.7 Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события a
- •Дискретные случайные величины
- •3.1 Основные определения
- •3.1.1.Дискретная случайная величина
- •3.1.2 Функция дискретной случайной величины
- •3.2 Законы распределения случайной дискретной величины
- •3.2.1. Биномиальное распределение
- •3.2.2. Распределение Пуассона
- •3.2.3. Геометрическое распределение
- •3.2.4. Гипергеометрическое распределение
- •3.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •3.3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.3.2. Математическое ожидание функции дискретной случайной величины
- •3.3.3. Свойства математического ожидания
- •3.3.4. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.3.5. Основные свойства дисперсии
- •3.4 Другие числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.4.1 Среднеквадратическое отклонение
- •3.4.2. Моменты k-го порядка
- •3.4.3. Нормированная случайная величина
- •3.4.4. Функция распределения дискретной случайной величины.
- •3.4.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.4.6. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Непрерывные случайные величины.
- •4.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •5.2. Функция непрерывной случайной величины
- •5.3. Основные характеристики непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Математическое ожидание
- •5.3.2. Дисперсия
- •5.3.3. Мода и медиана
- •5.3.4. Моменты k-го порядка
- •5.3.5. Асимметрия и эксцесс.
- •5.3. Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Равномерное распределение
- •5.3.2. Показательное распределение
- •5.3.3. Нормальное распределение
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Центральная предельная теорема
- •5.2. Неравенство и теорема Чебышева.
- •5.3. Теорема Бернулли (Закон больших чисел)
- •5.4. Эмпирическая оценка параметров случайной величины
- •Система двух случайных величин
- •6.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
- •6.2. Функция распределения двумерной случайной величины
- •6.3. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •6.4. Функция плотности вероятности непрерывной двумерной случайной величины
- •6.5. Функция двумерной случайной величины
- •6.6. Условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины
- •6.6.1. Условные законы распределения дискретной случайной величины
- •6.6.2. Условные законы распределения непрерывной случайной величины
- •6.6.3. Условное математическое ожидание
- •6.7. Корреляция случайных величин
- •6.7.1 Независимость компонент двумерной случайной величины
- •6.7.2. Корреляционный момент и коэффициент корреляции
- •6.7.3. Линейная регрессия, линейная корреляционная зависимость.
3.1.2 Функция дискретной случайной величины
Пусть X{xi, pi} - дискретная случайная величина со своим законом распределения, (x) – числовая функция, определенная для всех значений xi. Дискретная случайная величина Y c законом распределения {(xi), pi} называется функцией случайной величины X и обозначается Y=(X). Вероятности pi и pi не обаязаны совпадать, так как разным значениям xi может соответствовать одно и то же значение yi. Пусть, например, имеется дискретная случайная величина X , закон распределения которой выглядит как
X
xi
-2
-1
0
1
2
pi
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
Закон распределения для величины Y=2·X-1 (yi=2xi-1)
yi
-5
-3
-1
1
3
pi
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
Y
Для величины Z=X2+1, для которой zi=xi2+1, сначала составим таблицу в виде
zi
5
2
1
2
5
pi
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
и затем получим закон распределения
zi
1
2
5
pi
0.3
0.5
0.2
Z
3.2 Законы распределения случайной дискретной величины
3.2.1. Биномиальное распределение
Случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, ...n, вероятность которых вычисляется по формуле pk=p(X=k)= Cnkpkq n-k, 0kn, q=1-p, 0p1. Распределение полностью определяется двумя параметрами – p и n. Примером биномиального распределения может являться задача о числе выпавших гербов при броске n монет. Если k - число гербов, вероятности k успехов в n испытаниях можно определить по формуле Бернулли Pn(k)=Cnkpkq n-k.
3.2.2. Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения X={0, 1,2,...k, ...}, вероятности которых вычисляются по формуле Пуассона pk=p(X=k)=k/k!e-, k=0,1,2,3, ..., np==const.
3.2.3. Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если для ее возможных значений X={0, 1,2,...k, ...} вероятности вычисляются по формуле pk=p(X=k)=qkp, k=0,1,2,3, ..., q=1-p, 0p1. Вероятности представляют собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q и легко проверить, что сумма вероятностей pk равна 1, поскольку сумма членов убывающей геометрической прогрессии S=p/(1-q)=1. Геометрическое распределение возникает, если k - число независимых испытаний до первого успеха, при условии, что вероятность успеха в одном испытании равна p. В случае, если случайную величину Y определить как число независимых исытаний до наступления первого успеха, включая удавшееся, тогда для нее закон распределения будет выглядеть как pk=p(Y=k)=qk-1p , k=1,2,3, ...