2.3 Обобщение формулы Бернулли

Пусть последовательно проводятся n одинаковых независимых испытаний, однако исходов каждого испытания теперь не два, а m - A₁, A₂, ...A_m, m2. Согласно принципу умножения число число различных последовательностей длиной n, состоящих из событий A_i равно m ⁿ.

Чтобы построить последовательность событий, случайным образом реализовавшихся в n испытаниях, необходимо на n позициях разместить элементы A_i, среди которых какое-то количество (обозначим его k₁) относится к “первому сорту” (A₁), какое-то количество (k₂)– ко “второму сорту” (A₂), а какое-то (k_m) – к “сорту m ” (A_m). При заданных значениях k₁, k₂, ... k_m вероятность реализации конкретной последовательности равна p₁^k1p₂^k2 ...p_m^km (p_i - вероятность появления исхода A_i). Если же учесть все возможные перестановки при заданных k₁, k₂, ... k_m (см. формулу для перестановки с повторениями), для вероятности события, состоящего в том, что в n независимых испытаниях событие A₁ появится k₁ раз, A₂ - k₂ раз, A_m - k_m раз, получим

P_n(k₁, k₂, ... k_m) = n!/(k₁!k₂!k₃!...k_m!)p₁^k1p₂^k2...p_m^km

2.4 Формула Пуассона

Рассмотрим n независимых одинаковых испытаний. Пусть число исходов одного испытания m=2 (A и Ā), вероятность появления события A равна p. Введем константу =np и найдем предел, к которому стремиться вероятность P_n(k)=C_n^kp^kq ^n-k при бесконечно большом числе испытаний

P_n(k)=C_n^kp^kq ^n-k= n!/(n-k)!/k!(/n)^k(1-/n)^n-k=

=^k/k!n(n-1)(n-2)(n-(k-1))/n^k(1-/n)^-k(1-/n)ⁿ=^k/k!11e^-

^n

Таким образом,

lim P_n(k)= ^k/k!e^-

^n

Данная выражение называется формулой Пуассона. С ее помощью можно вычислять приближенное значение вероятности появления k успехов в n одинаковых независимых испытаниях, при условии, что n достаточно велико, а вероятность мала (n100, p0.1).

Рассмотрим пример. Пусть одна рыба ловится в среднем при 200 забрасываниях удочки. Какова вероятность поймать хотя бы одну рыбу при 100 забрасываниях. n=100, p=1/200=0.05, =np=0.5

Противоположным событием для события “поймана хотя бы одна рыба” является событие “не поймано ни одной рыбы” Его вероятность P₁₀₀(0)= C₁₀₀⁰0.5⁰0.955 ¹⁰⁰=0.955 ¹⁰⁰ ⁰/0!e^-= e^-0.5

Таким образом, искомая вероятность, вычисленная с помощью формулы Пуассона P_n(k1)1- e^-0.5=0.39347. Точный результат, полученный с помощью формулы Бернулли P_n(k1)=1- 0.955 ¹⁰⁰ =0.39423

2.5 Локальная теорема Лапласа.

Применять формулу Бернулли при достаточно больших значениях n может быть затруднительно, так как в этом случае требуется проводить вычисления для очень больших чисел. Например при n=50, k=30, p=0.2 вероятность появления успехов в 30 испытаниях P₅₀(30)=50!/(30!20!)0.2³⁰0.8²⁰ и входящий в выражение факториал 20!=2432902008176640000. В таких случаях удобно использовать приближенные вычисления. Кроме формулы Пуассона существует еще несколько выражений для приближенного определения вероятности. К числу принадлежит локальная теорема Лапласа. О том, как ее можно доказать, мы поговорим позднее, а пока просто познакомимся с результатами. Согласно данной теореме, если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность появления события A в n испытаниях ровно k раз при достаточно больших значениях n

P_n(k)1/(npq)^0.51/(2)^0.5e^-x2/2=1/(npq)^0.5(x)

Функция (x)= 1/(2)^0.5e^-x2/2 является четной, то есть (x)= (-x), x=(k-np)/(npq)^0.5. Значения функции (x) затабулированы, поэтому при решении задач достаточноопределить x и, используя таблицы, найти искомую вероятность. Пусть, например, n=400, k=80, p=0.2, q=1-p=0.8. Найдем x=80-4000.2/(4000.20.8)^0.5=0, (0)=0.3989 и P₄₀₀(80)1/80.3989=0.0498.