6.2. Функция распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y), называется функция F(x, y), определяющая вероятность того, что компонента X примет значение, меньшее чем x, а компонента Y – меньшее, чем y.

F(x, y)=P(X x, Yy)

В одномерном случае функция распределения

F(x)=P(X x)

равна вероятности того, что точка, соответствующая значению случайной величины X окажется правее x. В двумерном случае функция распределения равна вероятности того, что значение величины (X, Y) попадет в бесконечный квадрант расположенный левее и ниже точки (x, y), являющейся его вершиной (рис.10).

Y

(x, y)

O X

Рис. 10. Область X x, Yy

Когда «двумерная» функция распределения строится для дискретной случайной величины, вместо отрезков с постоянным значением функции распределения (как в одномерном случае) появляются участки плоскостей, образующие “ступенчатую” поверхность (каждая плоскость параллельна плоскости XOY)

Рассмотрим упрощенный случай, когда случайная величина распределена в соответствии с законом

	x1=0	x2=10
y1=10	p1	p2

Легко можно проверить, что значения функции для различных областей плоскости XOY будут такими, как показано на рис.11.

При x0, y10 F(x, y)=P(X x, Yy)=0

При x0, y10 F(x, y)=P(X x, Yy)=0

Если 0x10, y10 F(x, y)=P(X x, Yy)=0

и при 0x10, y10 F(x, y)=P(X x, Yy)= p₁

Наконец, при x10, y10 F(x, y)=P(X x, Yy)=0

и при x10, y10 F(x, y)=P(X x, Yy)= p₁+ p₂=1

Наша двумерная случайная величина принимает всего два значения (0, 10) и (10, 10), и для тех точек плоскости XOY, для которых квадрант с вершиной (x, y) не захватывает ни одного значения случайной величины, функция распределения равна 0. В области, где захватывается только точка (0, 10) функция распределения  равна вероятности p₁, в области, где квадрант с вершиной (x, y) захватывает обе точки – единице.

Y

F(x, y)=0 10 F(x, y)= p1 F(x, y)=1

F(x, y)=0 F(x, y)=0 F(x, y)=0

O 10 X

Рис. 11. Пример функции распределения для дискретной двумерной величины

Как и в одномерном случае, с помощью функции распределения можно задавать закон распределения непрерывной двумерной случайной величины. Для непрерывной двумерной случайной величины поверхность, отвечающая функции распределения, будет иметь более сложную форму. Рассмотрим в качестве примера функцию

0, x0 или y0

xy/100, 0 x10 и 0 y10,

F(x, y)= y/10, 0 y10 и x10

x/10, 0 x10 и y10

1, или y10

Области, на которых функция распределения принимает различные значения, показаны на рис.12

Y

F(x, y)=0 10 F(x, y)= x/10 F(x, y)=1

F(x, y)=0 F(x, y)= xy/100 F(x, y)= y/10

O 10 X

F(x, y)=0 F(x, y)=0 F(x, y)=0

Рис.12. Области различных значений функции распределения непрерывной двумерной случайной величины.

Пусть необходимо найти вероятность попадания случайной величины (X, Y) в квадрант (5, 6). В соответствии с приведенным выше законом распределения

P(X 5, Y6)=56/100=0.3

Вероятность попадания в квадрант (5, 11)

P(X 5, Y11)=5/10=0.5