- •Вероятность событий
- •1.1 Элементарные понятия теории вероятности.
- •1.2 Операции над случайными событиями
- •1.3 Вероятность случайного события
- •1.4 Формулы комбинаторики
- •1.5 Вероятность произведения событий
- •1.6 Вероятность суммы событий
- •1.7 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Независимые повторные испытания
- •2.1 Формула Бернулли
- •2.2 Наивероятнейшее число появлений успеха в n независимых испытаниях.
- •2.3 Обобщение формулы Бернулли
- •2.4 Формула Пуассона
- •2.5 Локальная теорема Лапласа.
- •2.6 Интегральная теорема Лапласа
- •2.7 Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события a
- •Дискретные случайные величины
- •3.1 Основные определения
- •3.1.1.Дискретная случайная величина
- •3.1.2 Функция дискретной случайной величины
- •3.2 Законы распределения случайной дискретной величины
- •3.2.1. Биномиальное распределение
- •3.2.2. Распределение Пуассона
- •3.2.3. Геометрическое распределение
- •3.2.4. Гипергеометрическое распределение
- •3.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •3.3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.3.2. Математическое ожидание функции дискретной случайной величины
- •3.3.3. Свойства математического ожидания
- •3.3.4. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.3.5. Основные свойства дисперсии
- •3.4 Другие числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.4.1 Среднеквадратическое отклонение
- •3.4.2. Моменты k-го порядка
- •3.4.3. Нормированная случайная величина
- •3.4.4. Функция распределения дискретной случайной величины.
- •3.4.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.4.6. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Непрерывные случайные величины.
- •4.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •5.2. Функция непрерывной случайной величины
- •5.3. Основные характеристики непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Математическое ожидание
- •5.3.2. Дисперсия
- •5.3.3. Мода и медиана
- •5.3.4. Моменты k-го порядка
- •5.3.5. Асимметрия и эксцесс.
- •5.3. Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Равномерное распределение
- •5.3.2. Показательное распределение
- •5.3.3. Нормальное распределение
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Центральная предельная теорема
- •5.2. Неравенство и теорема Чебышева.
- •5.3. Теорема Бернулли (Закон больших чисел)
- •5.4. Эмпирическая оценка параметров случайной величины
- •Система двух случайных величин
- •6.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
- •6.2. Функция распределения двумерной случайной величины
- •6.3. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •6.4. Функция плотности вероятности непрерывной двумерной случайной величины
- •6.5. Функция двумерной случайной величины
- •6.6. Условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины
- •6.6.1. Условные законы распределения дискретной случайной величины
- •6.6.2. Условные законы распределения непрерывной случайной величины
- •6.6.3. Условное математическое ожидание
- •6.7. Корреляция случайных величин
- •6.7.1 Независимость компонент двумерной случайной величины
- •6.7.2. Корреляционный момент и коэффициент корреляции
- •6.7.3. Линейная регрессия, линейная корреляционная зависимость.
1.2 Операции над случайными событиями
Любые случайные события можно связать друг с другом с помощью определенных операций, получив при этом новое событие, представляющие собой некую комбинацию из исходных.
Суммой событий А и В называется событие С, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий А и В. Например на рис.2 попадание точки в заштрихованную область означает наступление события С=A+B .
В случае, когда складываются несколько событий, суммой событий A1, A2, ...An является такое событие C, которое состоит в появлении хотя бы одного из перечисленных событий
n
С = Ai
i=1
а ) б)
Рис.2. Сумма событий А и В – событие С, состоящее в попадании точки в заштрихованную область.
Произведение событий (их пересечение) состоит в одновременном наступлении событий А и В. Например, попадание точки в заштрихованную область рис.3 означает одновременное наступление события А – точка попала в область А и события В – точка попала в область В. Для нескольких событий их произведение – это событие, состоящее в наступление всех этих событий одновременно
n
С = ∩ Ai
i=1
Рис.3. Произведение событий A и B
Событие называется невозможным, если оно не может произойти ни при каких обстоятельствах. Такое событие обозначается символом пустого множества ø. Примером невозможного события могло бы стать событие С=AB, построенное для ситуации, изображенной на рис.2.б, поскольку в этом случае ни одна из точек не может одновременно находиться в обеих областях А и В.
Еще один особый вид события – достоверное. Достоверным является событие, происходящее при любых условиях. Для его обозначения используется символ . В качестве примера можно рассмотреть событие, условием наступления которого является случайный выбор любой из точек области на рис.1 (в рамках описанного для этого рисунка испытания). Если мы должны поставить любую точку в заданной области, то какую бы из точек мы не выбрали, событие, состоящее в том, что некая точка поставлена, обязательно реализуется и, следовательно, является достоверным.
События ø и являются противоположными друг другу. В общем случае событием Ā, противоположным событию А называют событие, состоящее в непоявлении события А. Противоположное событие возникает в результате применения к событию А операции отрицания. Например, на рис.4 попадание точки в область вне области А – это событие Ā.
А
Ā
Рис.4. События A и Ā.
Можно написать _
Ø=
_
= Ø
События являются совместными, если могут произойти одновременно, то есть их произведение не является пустым множеством. Поскольку событие С=AB, изображенное на рис.2б является невозможным (С= ø), события A и B, показанные на этом рисунке являются несовместными. В то же время события A и B, показанные на рис. 2.а - совместные, так как их пересечение – не пустое множество.
Рис.5. Разность событий А и В.
На рис. 5 показана разность событий А и В, которая обозначается как А\В. Данное событие состоит в появлении события А при условии непоявления события B.
Рис. 6 поясняет определение «событие В влечет за собой событие А». В данной ситуации, обозначаемой как В А, наступление события В означает обязательное наступление события А.
Рис. 6. Множество B является подмножеством множества A.
Если события являются попарно несовместными (взаимоисключающими) и в совокупности охватывают все возможные исходы испытания, они образуют полную группу. Иначе говоря, события A1, A2, ...An образуют полную группу, если для любых двух событий Ai и Aj
Ai Aj = ø
и
A1+A2+ ...+An=
Событиями, образующими полную группу, являются
___
А\В, B, A+B
(см. например рис.2.) Полную группу также образуют события Ā и А, поскольку
AĀ = ø
А+Ā=
С помощью таких действий как отрицание, нахождение суммы или произведения, можно конструировать выражения, соответствующие неким новым событиям. В качестве примера рассмотрим три совместных события А, В и С и построим выражение для события D, которое состоит в том, что:
а) произошло только событие A
_ _
D =ABC
б) произошли только события A и B
_
D =ABC
в) произошли все три события
D =ABC
г) произошло хотя бы одно событие
D =A+B+C
д) произошло только одно событие
_ _ _ _ _ _
D =ABC+ ABC+ ABC
е) ни одного события не произошло
_ _ _ ______
D =ABC= A+B+C
ж) не произошло появления всех трех событий одновременно
_____
D = ABC
з) произошло два события
_ _ _
D =ABC+ ABC+ ABC
и) произошло не менее двух событий
D =AB+AC+BC