5.3.2. Показательное распределение

Показательное распределение задается функцией

e^-x, x0

f(x)=

0, x0

Функция распределения

1-e^-x, x0

F(x)=

0, x0

Зная функцию распределения легко определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

P(axb)= F(b)- F(a)= e^-a- e^-b

Математическое ожидание и дисперсия для показательного распределения равны

M(x)=1/

D(x)=1/²

Из условия

F(x_Me)=0.5=1- e^-xMe

получим для медианы значение

x_Me=ln(0.5)/(-)

Мода показательного распределения равна 0

5.3.3. Нормальное распределение

Нормальное распределение описывается законом

f(x)= 1//(2)^0.5e^{-1/2(x-a)2/2}

Данный закон распределения зависит отдвух праметров – a и . Можно показать, что

M(x)= a

D(x)= ²

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса), а соответствующую функцию - функцией Гаусса. Данная функция определена для всех значений x, симметрична относительно x=a, на бесконечности она стремится к 0, максимальна при x=a, f(a)= 1//(2)^0.5. Точки перегиба - x=a+ и - x=a-.

Нормальное распределение называется нормированным при

M(x)= 0

D(x)= 1

Значения нормированной функции нормального распределения

(x)= 1/(2)^0.5e^-x2/2

затабулированы. Вероятность случайной величины оказаться в заданном интервале в случае ее нормированного нормального распределения определяется выражением

x₂

P(x₁xx₂)= 1/(2)^0.5∫ e^-t2/2dt= (x₂)-  (x₁),

x₁

где

x

(x)= 1/(2)^0.5∫ e^-t2/2dt

0

- уже знакомая нам функция Лапласа. Если случайная величина распределена нормальным образом с параметрами a и  (не нормирована), тогда

P(x₁xx₂)=((x₂- a)/)- ((x₁- a)/),

Используя эту формулу, легко найти вероятность того, что отклонение случайной величины от математического ожидания не превысит величину 

P(|x -a|)= P(a -x  a +)=(( a -- a)/)- (( a +- a)/)=2Ф(/)

В случае, если =3

P(a -3x  a +3)=2Ф(3)= 20.49865=0.9973

Таким образом, с вероятностью 99.73% значения нормально распределенной случайной величины находятся в интервале (a -3, a +3). Данное утверждение получило название правила “трех сигм”. Вероятность того,что отклонение математического ожидания превысит 3 составляет всего 0.0027. На практике обычно предполагают, что если закон распределения случайной величины неизвестен, но правило трех сигм выполняется, распределение можно считать нормальным.

5. 5. Закон больших чисел

5.1. Центральная предельная теорема

Нормальное распределение действительно очень часто встречается на практике. Объяснение этому факту дает теорема М. Ляпунова, которую также называют центральной предельной теоремой. Согласно этой теореме, если случайная величина X представляет сумму очень большого числа взаимно-независимых случайных величин, влияние каждой их которых на всю сумму ничножно мало, то эта случайная величина имет распределение, близкое к нормальному. Говорят, что к последовательности независимых случайных величин X₁, X₂, ... применима центральная предельная теорема, если функция распределения случайной величины X=X₁ +X₂ +... X_n при бесконечном числе входящих в нее слагаемых подчиняется нормальному закону распределения

_x

limF_n=limP[(X-A_n)/B_nx]=1/(2)^0.5∫ e^-t2/2dt

^{n n -}

Здесь

F_n= P((X-A_n)/B_nx)

- функция распределения центрированной и нормированной случайной величины X=X₁ +X₂ +...+ X_n

A_n=a₁+a₂+...+a_n – сумма математических ожиданий величин, входящих в X,

B_n²=b₁²+b₂²+...+b_n² – сумма дисперсий этих случайных величин.

В общем случае условие применимости центральной предельной теоремы – ничтожно малое влияние каждого отдельного слагаемого на общую сумму (условие Ляпунова).

В частносм случае, если все случайные величины X₁, X₂, ... , X_n одинаково распределены и их дисперсии конечны и не равны нулю, то к этой последовательности применима центральная пределельная теорема. Если рассмотреть, например, испытания Бернулли, можно ввести X₁, X₂, ... – одинаково распределенные случайные величины, связанные с отдельным испытанием, в котором может появиться событие A. Распределение суммы этих величин (числа появления события A в n испытаниях) при бесконечно большом числе испытаний будет описываться нормальным законом (с математическим ожиданием A_n=np и дисперсией B_n²=npq). Для конечного, но достаточно большого числа испытаний закон нормального распределения можно использовать в качестве приближения, как это и сделано в локальной и интегральной теоремах Лапласа.