- •Вероятность событий
- •1.1 Элементарные понятия теории вероятности.
- •1.2 Операции над случайными событиями
- •1.3 Вероятность случайного события
- •1.4 Формулы комбинаторики
- •1.5 Вероятность произведения событий
- •1.6 Вероятность суммы событий
- •1.7 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Независимые повторные испытания
- •2.1 Формула Бернулли
- •2.2 Наивероятнейшее число появлений успеха в n независимых испытаниях.
- •2.3 Обобщение формулы Бернулли
- •2.4 Формула Пуассона
- •2.5 Локальная теорема Лапласа.
- •2.6 Интегральная теорема Лапласа
- •2.7 Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события a
- •Дискретные случайные величины
- •3.1 Основные определения
- •3.1.1.Дискретная случайная величина
- •3.1.2 Функция дискретной случайной величины
- •3.2 Законы распределения случайной дискретной величины
- •3.2.1. Биномиальное распределение
- •3.2.2. Распределение Пуассона
- •3.2.3. Геометрическое распределение
- •3.2.4. Гипергеометрическое распределение
- •3.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •3.3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.3.2. Математическое ожидание функции дискретной случайной величины
- •3.3.3. Свойства математического ожидания
- •3.3.4. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.3.5. Основные свойства дисперсии
- •3.4 Другие числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.4.1 Среднеквадратическое отклонение
- •3.4.2. Моменты k-го порядка
- •3.4.3. Нормированная случайная величина
- •3.4.4. Функция распределения дискретной случайной величины.
- •3.4.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.4.6. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Непрерывные случайные величины.
- •4.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •5.2. Функция непрерывной случайной величины
- •5.3. Основные характеристики непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Математическое ожидание
- •5.3.2. Дисперсия
- •5.3.3. Мода и медиана
- •5.3.4. Моменты k-го порядка
- •5.3.5. Асимметрия и эксцесс.
- •5.3. Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Равномерное распределение
- •5.3.2. Показательное распределение
- •5.3.3. Нормальное распределение
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Центральная предельная теорема
- •5.2. Неравенство и теорема Чебышева.
- •5.3. Теорема Бернулли (Закон больших чисел)
- •5.4. Эмпирическая оценка параметров случайной величины
- •Система двух случайных величин
- •6.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
- •6.2. Функция распределения двумерной случайной величины
- •6.3. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •6.4. Функция плотности вероятности непрерывной двумерной случайной величины
- •6.5. Функция двумерной случайной величины
- •6.6. Условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины
- •6.6.1. Условные законы распределения дискретной случайной величины
- •6.6.2. Условные законы распределения непрерывной случайной величины
- •6.6.3. Условное математическое ожидание
- •6.7. Корреляция случайных величин
- •6.7.1 Независимость компонент двумерной случайной величины
- •6.7.2. Корреляционный момент и коэффициент корреляции
- •6.7.3. Линейная регрессия, линейная корреляционная зависимость.
6.5. Функция двумерной случайной величины
Пусть имеется дискретная двумерная случайна величина (X, Y) со своим законом распределения {(xi, yj), pij=P(X=xi, Y=yj)} и пусть задана числовая функция двух аргументов (x, y). Функцией дискретной двумерной случайной величины будем называть дискретную случайную величину Z=(x, y) с законом распределения {(xi, yj), pij=P(X=xi, Y=yj)}.
Для непрерывной двумерной случайной величины, распределение которой описывается функцией плотности вероятности f(x, y) функцией двумерной случайной величины будем называть непрерывную случайную величину Z=(x, y) с законом распределения {(x, y), f(x, y)}.
Случайная величина Z является одномерной и для нее как и для любой одномерной величины можно найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
Функция распределения
F(z)=P(Zz)= P((x, y)z)
Если двумерная величинапринимает непрерывный ряд значений, то по известной функции распределения можно найти плотность вероятности
f(z)=dF(z)/dz
Математическое ожидание и дисперсию Z - функции двумерной случайной величины в дискретном случае можно найти по формуле
M(Z)=M((x, y))=(xi, yj) pij
i,j
D(Z)=D((x, y))=[(xi, yj) -M(Z)]2 pij
i,j
Для непрерывной случайной величины
M(Z)=M((x, y))=∫ ∫(x, y)f(x, y)dxdy
--
и
D(Z)=D((x, y))=∫ ∫[(x, y)- M(Z)]2f(x, y)dxdy
--
6.6. Условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины
6.6.1. Условные законы распределения дискретной случайной величины
Известно, что если события A и B не являются независимыми, для них всегда можно найти условную вероятность. Вероятность наступления события B при условии наступления события A
P(B/А)=P(AB)/P(A)
В общем случае компоненты двумерной случайной величины не являются независимыми и, следовательно, можно найти условные вероятности для событий «cлучайная величина X приняла значение xi при условии, что cлучайная величина Y приняла значение yj». Для дискретной двумерной случайной величины будем обозначать такую вероятность как p(xi|yj).
Условным распределением составляющей X при Y=yj называют совокупность условных вероятностей p(x1|yj), p(x2|yj), ... p(xn|yj), вычисленных в предположении, что событие Y=yj наступило. Условную вероятность всегда можно рассчитать, если известен закон распределения двумерной случайной величины. В дискретном случае:
p(xi|yj)= p(xi, yj)/p(yj),
где
n
p(yj)= p(xi, yj)
i=1
- закон распределения Y-компоненты двумерной случайной величины (X, Y). Аналогично можно найти условное распределение для составляющей Y при X=xi
p(yj|xi)= p(xi, yj)/p(xi),
где
m
p(xi)= p(xi, yj)
j=1
- закон распределения Y-компоненты двумерной случайной вели