- •Вероятность событий
- •1.1 Элементарные понятия теории вероятности.
- •1.2 Операции над случайными событиями
- •1.3 Вероятность случайного события
- •1.4 Формулы комбинаторики
- •1.5 Вероятность произведения событий
- •1.6 Вероятность суммы событий
- •1.7 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Независимые повторные испытания
- •2.1 Формула Бернулли
- •2.2 Наивероятнейшее число появлений успеха в n независимых испытаниях.
- •2.3 Обобщение формулы Бернулли
- •2.4 Формула Пуассона
- •2.5 Локальная теорема Лапласа.
- •2.6 Интегральная теорема Лапласа
- •2.7 Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности события a
- •Дискретные случайные величины
- •3.1 Основные определения
- •3.1.1.Дискретная случайная величина
- •3.1.2 Функция дискретной случайной величины
- •3.2 Законы распределения случайной дискретной величины
- •3.2.1. Биномиальное распределение
- •3.2.2. Распределение Пуассона
- •3.2.3. Геометрическое распределение
- •3.2.4. Гипергеометрическое распределение
- •3.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •3.3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.3.2. Математическое ожидание функции дискретной случайной величины
- •3.3.3. Свойства математического ожидания
- •3.3.4. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.3.5. Основные свойства дисперсии
- •3.4 Другие числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.4.1 Среднеквадратическое отклонение
- •3.4.2. Моменты k-го порядка
- •3.4.3. Нормированная случайная величина
- •3.4.4. Функция распределения дискретной случайной величины.
- •3.4.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.4.6. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Непрерывные случайные величины.
- •4.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •5.2. Функция непрерывной случайной величины
- •5.3. Основные характеристики непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Математическое ожидание
- •5.3.2. Дисперсия
- •5.3.3. Мода и медиана
- •5.3.4. Моменты k-го порядка
- •5.3.5. Асимметрия и эксцесс.
- •5.3. Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3.1. Равномерное распределение
- •5.3.2. Показательное распределение
- •5.3.3. Нормальное распределение
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Центральная предельная теорема
- •5.2. Неравенство и теорема Чебышева.
- •5.3. Теорема Бернулли (Закон больших чисел)
- •5.4. Эмпирическая оценка параметров случайной величины
- •Система двух случайных величин
- •6.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
- •6.2. Функция распределения двумерной случайной величины
- •6.3. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •6.4. Функция плотности вероятности непрерывной двумерной случайной величины
- •6.5. Функция двумерной случайной величины
- •6.6. Условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины
- •6.6.1. Условные законы распределения дискретной случайной величины
- •6.6.2. Условные законы распределения непрерывной случайной величины
- •6.6.3. Условное математическое ожидание
- •6.7. Корреляция случайных величин
- •6.7.1 Независимость компонент двумерной случайной величины
- •6.7.2. Корреляционный момент и коэффициент корреляции
- •6.7.3. Линейная регрессия, линейная корреляционная зависимость.
6.6.2. Условные законы распределения непрерывной случайной величины
Если закон распределения непрерывной двумерной случайной величины задан функцие плотности вероятности f(x, y), условное распределение составляющей X при Y=y - это функция
(x| y)= f(x, y)/f2(y),
где f2(y) – закон распределения Y компоненты. Для условного распределения составляющей Y
(y| x)= f(x, y)/f1(x),
где f1(y) – закон распределения X компоненты. Условная плотность распределения также всегда неотрицательна и нормирована
(x| y)0, (y| x) 0
Кроме того
∫ (x| y)dx=1
-
и
∫ (y| x)dy=1
-
6.6.3. Условное математическое ожидание
Зная закон условного распределения всегда можно определить и математическое ожидание для выбранной компоненты, при условии, что вторая компонента приняла определенное значение. Условное математическое ожидание случайной величины X при Y=y в случае, если величина принимает дискретные значения, определяется по формуле
n
M(X|Y=y)=xip(xi|yj)
i=1
Для непрерывной случайной величины
M(X|Y=y)=∫ x(x| y)dx=1(y)
-
Аналогично условное математическое ожидание случайной величины Y при X=x равно
m
M(Y|X=x)=yjp(yj|xi),
j=1
для дискретной величины, и для непрерывной -
M(Y|X=x)=∫y(y| x)dy=2(x)
-
Функцию 1(y) называют функцией регрессии X на Y, а функцию 2(x) – регрессией Y на X.
6.7. Корреляция случайных величин
6.7.1 Независимость компонент двумерной случайной величины
Как уже говорилось выше, две случайные величины являются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Для независимых компонент двумерной случайной величины условные распределения всегда должны быть равны безусловным.
Независимость двух непрерывных случайных величин можно также установить с помощью следующей теоремы:
Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения двумерной случайной величины (X, Y) была равна произведению функций распределения компонент.
F(x, y)= F1(x) F2(y)
Согласно следствию данной теоремы:
Для того, чтобы случайные величины были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения компонент двумерной случайной величины (X, Y) была равна произведению плотности распределения составляющих
f(x, y)= f1(x) f2( y)
В случае дискретной двумерной величины, для того, чтобы компоненты (X, Y) были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
p(xi, yj)= p(xi)p(yj)