2. Независимые повторные испытания

2.1 Формула Бернулли

Пусть последовательно проводятся n одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых событие A может произойти с вероятностью P(A)=p. Вероятность того, что событие A не произойдет P(Ā)=1-p=q.

По сути дела, речь идет о том, чтобы случайным образом заполнить n возможных позиций событиями A и Ā. Например, результат серии испытаний может быть таким: A Ā A Ā A ... Ā. Число возможных исходов каждого независимого испытания - два (A и Ā), всего испытаний n, и, согласно принципу умножения, число различных последовательностей, состоящих из событий A и Ā равно 2ⁿ.

Поскольку все испытания независимы, вероятность каждого общего результата для серии n испытаний определяется как произведение вероятностей отдельных исходов. Например, вероятность того, что событие A появится во всех n случаях составляет pⁿ. Вероятность того, что неудача произойдет только в первом испытании равна p^n-1q. Вместе с тем, результатов с одной неудачей может быть n=C_n¹ и вероятность события «в n испытаниях n-1 раз появилось событие A» составляет C_n¹p^n-1q. В общем случае, вероятность того, что в серии n независимых испытаний событие A появится k раз дается формулой Бернулли:

P_n(k)=C_n^kp^kq ^n-k,

где 0kn.

Вероятности P_n(k) называются биномиальными, поскольку C_n^kp^kq ^n-k – общий член разложения бинома Ньютона.

_n

(p+q)ⁿ=C_n^kp^kq ^n-k

^k=0

Поскольку p+q=1, то

_{n n}

P_n(k) = C_n^kp^kq ^n-k=1

^{k=0 k=0}

Рассмотрим следующий пример. Пусть известно, что число стальных деталей в партии в два раза больше, чем число чугунных. Необходимо найти вероятность того, что из трех наудачу взятых деталей 2 окажутся стальными. В этой задаче вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется стальной p=2/3, вероятность противоположного события q=1/3 и

P₃(2)=C₃²(2/3)²(1/3) ¹=4/9=0.444

2.2 Наивероятнейшее число появлений успеха в n независимых испытаниях.

Зафиксируем значения n, p и q. В этом случае вероятность P_n(k) можно рассматривать как функцию k. Например при n=3

P₃(0)=C₃⁰p⁰q ³= q ³

P₃(1)=C₃¹p¹q ²=3pq ²

P₃(2)=C₃²p²q ¹=3p²q

P₃(3)=C₃³p³q ⁰=p³

Если построить значения вероятности на графике для определенных p и q, можно будет увидеть, какому числу успехов k соответствует максимальное значение вероятности P₃(k).

Найдем k, при котором P_n(k) принимает максимальное значение в общем случае. Можно показать, что отношение

P_n(k+1) /P_n(k) =(n-k)p/(k+1)/q

Следовательно, P_n(k+1)  P_n(k) при условии (n-k)p  (k+1)/q. Перепишем последнее неравенство как np-q  k(p+q)= k. Когда знак неравенства меняется, значение вероятности начинает убывать с ростом k. Равенство P_n(k+1) = P_n(k), соответствующее максимальному значению вероятности, реализуется при условии k=k₀=np-q и k+1=k₀+1=np-q +1=p(n+1). Данное равенство возможно только в случае, если np-q - целое число. В случае, когда np-q является дробным, к его целой части необходимо прибавить единицу - k₀=[np-q] +1 , то есть в качестве k₀ берется наименьшее целое значение k, превосходящее np-q. В этом случае наблюдается только одно максимальное значение P_n(k₀).

Пусть необходимо найти наиболее вероятное число выпадений герба при 20 и 25 бросках монеты. В этой задаче p =q=0.5. При n =20 np-q =10-0.5=9.5, k₀=[9.5] +1=10. При n =25 np-q = 12.5-0.5=12, k₀=12, k₀+1=13.