5.2. Неравенство и теорема Чебышева.

Центральная предельная теорема отражает тот факт, что при определенных условиях суммарное поведение большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Рассмотрим (без доказательства) еще несколько утверждений, связанных с этим фактом.

Пусть задано некоторое положительное число . Вероятность того, что отклонение случайной величины от математического ожидания можно оценить, используя неравенство Чебышева:

P(|X –M(X)|)=1- D(X)/²

Здесь M(X) - математическое ожидние величины, D(X) – ее дисперсия. Например, при D(X)=0.001 и =0.1 вероятность отклонения от математического ожидания на величину не большую чем  для случайной величины составит 1-0.001/0.01=0.9. Неравенство Чебышева часто дает слишком грубую, а иногда и очевидную оценку вероятности. Так, если выполняется условие D(X) ² , тогда

1- D(X)/² 0

и неравенство сводится к очевидному утверждению

P(|X –M(X)|)0

Вместе с тем, неравенство Чебышева оказывается очень полезным при выводе теоремы Чебышева. Согласно этой теореме, если X₁, X₂, ... X_n - попарно независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями, дисперсии которых равномерно ограничены (не превышают некоторого постоянного числа), то для любого сколь угодно малого  при достаточно большом числе n вероятность отклонения среднего арифметического этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий не более чем на  будет близка к единице

limP[|(X₁ +X₂ +... X_n)/n-(M(X₁)+ M(X₂)+...+M(X_n))/n|]=1

^n

В случае, если математические ожидания всех величин совпадают M(X_i)=a

limP[|(X₁ +X₂ +... X_n)/n-a|]=1

^n

Таким образом, среднее арифметическое значений одинаково распределенных случайных величин при бесконечно большом n равно математическому ожиданию отдельной величины. Именно с этим фактом связано большое практическое значение теоремы, поскольку чтобы оценить математическое ожидание величины, достаточно найти среднее арифметическое большого числа результатов ее измерения. Увеличивая число измерений одной и той же величины можно добиться для нее достаточно точной оценки

На применении теоремы Чебышева основан метод выборочного наблюдения в математической статистике. Согласно этому методу вместо обследования всей статистической совокупности находят такой объем выборки (числа наблюдений), при котором удается добиться заданной точности  и вероятности P в оценке случайной величины по среднему значению. Когда объем статистической совокупности велик, даже при большом числе наблюдений выборка оказывается заметно меньше чем вся совокупность.

5.3. Теорема Бернулли (Закон больших чисел)

Если вероятность p появления события A постоянна во всех n независимых испытаниях, то при бесконечно большом числе испытаний отклонение относительной частоты появления события A от данной вероятности p будет сколь угодно малым с вероятностью, равной единице

limP(|m/n-a|)=1

^n

Таким образом, для эмпирической оценки вероятности события A можно использовать относительную частоту появления этого события при достаточнобольшом числе испытаний

p m/n

По сути теорема Бернулли доказывает обоснованность статистического определения, данного для вероятности события в самом начале курса