1.2. Моменты силы. Пара сил

1.2.1.Предмет статики

Статикой называется раздел теоретической механики, изучающий условия равновесия материальных тел.

Состоянием покоя называется такое состояние свободного материального тела, при котором положения всех его точек относительно принятой инерциальной системы отсчета положений сохраняются сколь угодно долго неизменными, а скорости точек тождественно равными нулю. Это состояние постулируется законом инерции в отношении свободной изолированной материальной точки.

Если приложить к такому телу уравновешенную систему сил, то состояние покоя при этом не нарушится. Следовательно, уравновешенной называется такая система сил, которая, действуя на свободную материальную точку, находившуюся в состоянии покоя, не выводит ее из этого состояния. Эта система сил может быть также названной эквивалентной нулю. Тела, находящиеся в покое, также называют находящимися в равновесии.

В дальнейшем будем считать, что начальные скорости материальных тел равны нулю. Тогда условия равновесия сил можно считать также и условиями равновесия материальных тел.

1.2.2. Условия и уравнения равновесия материальной точки

Пусть свободная материальная точка находится в состоянии покоя (равновесия) относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Тогда ее ускорение относительно этой системы отсчета равно нулю и основное уравнение динамики (7) свободной точки запишется в виде

. (11)

Отсюда следует условие равновесия свободной материальной точки в векторной форме: для равновесия свободной материальной точки необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма действующих на нее сил была равна нулю, а силовой многоугольник, образованный силами, действующими на точку, должен быть замкнутым.

Проектируя равенство (11) на координатные оси, получим три алгебраических уравнения:

. (12)

Уравнения (12) называются уравнениями равновесия свободной материальной точки. Они показывают, что для равновесия этой точки необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций действующих на нее сил на оси координат были равны нулю.

П ростейшей уравновешенной системой сил, действующих на материальную точку, будут две равные по модулю и направленные в противоположные стороны вдоль одной прямой силы и (рис.10).

Действительно, в этом случае в соответствии с правилом векторной алгебры имеем

+ =0.

Если эта система сил будет приложена к покоящейся точке, то равновесие точки не нарушается.

Принцип освобождаемости от связей позволяет распространить условие (11) и уравнения (12) и на случай несвободной материальной точки. Для этого нужно мысленно освободить точку от связей и присоединить к активным силам ещё и реакции связей. В этом случае векторное условие равновесия материальной точки запишется в виде

+ =0, (13)

где и – равнодействующие соответственно активных сил и реакций связей, приложенных к несвободной материальной точке.

1.2.3. Момент силы относительно точки

Д ля изучения статики твердого тела необходимо ввести новые важные понятия. Рассмотрим твердое тело, к точке которого приложена сила (рис.11). Выберем в теле произвольную точку и свяжем с ней систему отсчета . Длина перпендикуляра , опущенного из точки на линию действия силы, называется плечом силы относительно точки .

Если закрепить тело в точке , то сила будет стремиться повернуть его вокруг этой точки. Вращающее действие силы на тело зависит от ее модуля, плеча, направления вращения и от положения плоскости треугольника , проходящей через силу и точку. Влияние всех этих факторов и отражается в понятии о моменте силы относительно точки как о векторе.

Моментом силы относительно точки называется вектор , приложенный в этой точке, равный по модулю произведению модуля силы на ее плечо и направленный перпендикулярно плоскости треугольника в ту сторону, откуда поворот, который сила стремится сообщить телу вокруг этой точки, виден с конца вектора происходящим против хода часовой стрелки.

Согласно этому определению модуль вектора равен

. (14)

Если все силы, действующие на тело, и точка расположены в одной плоскости (например, в плоскости чертежа), то момент силы относительно точки можно рассматривать как алгебраическую величину, равную взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на ее плечо. В этом случае момент обозначим

. (15)

Момент силы относительно точки считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг этой точки против хода часовой стрелки, и отрицательным, если – по ходу часовой стрелки.

Вектор момента силы относительно точки может быть определен как:

, (16)

где - радиус-вектор точки приложения силы относительно точки (рис.11).

В самом деле, модуль векторного произведения (16) равен

, (16a)

т.к. (рис.11).

Вектор направлен перпендикулярно к плоскости, содержащей векторы и , т.е. к плоскости треугольника , в ту сторону, откуда поворот вектора к вектору , перенесенному в точку , на наименьший угол между ними представляется происходящим в направлении против хода часовой стрелки. Итак, векторы и имеют одинаковые модули и направления, поэтому формула (16) справедлива.

Отметим, что вектор равен нулю, если линия действия силы проходит через точку .

Пусть - координаты точки приложения силы, а - проекции вектора силы на координатные оси . Тогда момент силы можно выразить следующим образом

. (16б)

С другой стороны, раскладывая вектор по координатным осям, имеем

. (16в)

Сравнивая эти два выражения, получим формулы, определяющие проекции вектора момента силы относительно точки на координатные оси:

.(17)